多項式環

多項式環入門

多項式環は、環論における重要な概念であり、代数学、幾何学など幅広い数学分野で活用されています。本稿では、多項式環の定義から、その性質、多変数への拡張、そしてさらなる一般化について解説します。

体上の多項式環

まず、体K上の多項式環K[X]について考えましょう。K[X]の要素は、Kの元を係数とするXの多項式です。例えば、K = ℝ（実数体）の場合、3x²+2x-1はK[X]の要素です。

多項式pは、次のように表されます。


p = p_mX^m + p_{m-1}X^{m-1} + ... + p_1X + p_0


ここで、p_0, ..., p_mはKの要素（係数）であり、Xは不定元です。X^kはXのk乗を表します。多項式の加法と乗法は、通常の多項式演算と同じように定義されます。

多項式環の性質

体上の多項式環は、整数環Zと多くの類似点があります。

整域: 零でない二つの多項式の積は零になりません。
一意分解整域: 多項式は既約多項式の積として一意的に分解できます。この性質は、ユークリッドの互除法の多項式版を用いて証明できます。
主イデアル整域: 任意のイデアルは単項イデアルです。これは、多項式の最大公約元が存在することと関連しています。

剰余環と根体

多項式環K[X]のイデアルによる剰余環は、Kの拡大体を作ります。特に、既約多項式pによる剰余環K[X]/(p)は体となり、pの根を含むKの拡大体となります。例として、複素数体Cは、実数体R上の多項式環R[X]のイデアル(X²+1)による剰余環として表現できます。


C ≃ R[X]/(X²+1)

多変数多項式環

体K上のn変数多項式環K[X1, ..., Xn]は、Kの要素を係数とする、n個の不定元X1, ..., Xnの多項式全体の集合です。多変数多項式環も一変数多項式環と同様の性質を持ちますが、より複雑な構造を持っています。

多項式pは次のように表されます。


p = Σ_α p_αX^α


ここで、αは多重指数(α1, ..., αn)であり、X^αはX1^α1...Xn^αnを表します。

多項式環の普遍性

多変数多項式環は、自由可換多元環として普遍的な性質を持ちます。つまり、任意の可換環R上の有限生成可換R多元環は、多項式環の準同型像として表すことができます。

代数幾何学における多項式環

多項式環は、代数幾何学においても重要な役割を果たします。体K上の多項式環K[X1, ..., Xn]のイデアルは、K^nの部分集合（代数的集合）と対応します。ヒルベルトの零点定理は、この対応に関する重要な結果です。

多項式環の一般化

多項式環は、様々な方法で一般化できます。

モノイド環: 指数集合を一般化することで、モノイド環R[N]が定義できます。Nが非負整数全体の集合の場合、通常の多項式環が得られます。
冪級数環: 無限個の項を持つ多項式を許したものが冪級数環です。
非可換多項式環: 変数間の可換性を仮定しない多項式環です。
微分多項式環: 導分を含む多項式環です。
歪多項式環: 環の自己準同型を含む多項式環です。

これらの一般化された多項式環は、様々な数学分野で応用されています。

まとめ

多項式環は、代数学において中心的な役割を果たす基本的な構造です。その定義、性質、多変数への拡張、そして一般化は、数学の多くの分野で重要な役割を果たしています。この記事では、多項式環の基本的な概念を解説しました。より深い理解のためには、専門書などを参照することをお勧めします。

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