反発係数

反発係数とは？

反発係数とは、2つの物体が衝突した際に、衝突前後の速度から算出される値です。衝突前の相対速度に対する、衝突後の相対速度の比として定義され、一般に記号eで表されます。その値は0から1までの範囲を取り、単位がありません。この値が大きいほど、衝突後の跳ね返りが大きいことを示します。

反発係数の定義と計算

物体1と物体2が衝突し、速度がそれぞれv1からv1'、v2からv2'に変化した場合、反発係数eは以下の式で定義されます。

math
e = \frac{|v'_1 - v'_2|}{|v_1 - v_2|} = -\frac{v'_1 - v'_2}{v_1 - v_2}


ここで、v1とv2は衝突前の速度、v1'とv2'は衝突後の速度です。絶対値を用いることで、速度の向きに関わらず正の値が得られます。

弾性衝突と非弾性衝突

反発係数の値によって、衝突の種類を分類することができます。

弾性衝突 (e = 1): 運動エネルギーが保存される衝突です。理想的な剛体の衝突がこれに当たります。衝突前後で運動エネルギーの損失がありません。
非弾性衝突 (0 ≤ e < 1): 運動エネルギーが保存されない衝突です。現実世界のほとんどの衝突は非弾性衝突です。衝突によって、音や熱などの他のエネルギーに変換されるため、運動エネルギーが減少します。
完全非弾性衝突 (e = 0): 衝突後、2つの物体が一体となって運動を続けます。運動エネルギーの損失が最大となります。

運動エネルギーと運動量保存則

弾性衝突の場合、運動エネルギーと運動量の両方が保存されます。

運動エネルギー保存則:

math
\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1{v'_1}^2 + \frac{1}{2}m_2{v'_2}^2


運動量保存則:

math
m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v'_1 + m_2v'_2


これらの式から、e=1が導き出されます。これは、衝突の前後で相対速度の大きさが変わらず、向きだけが逆になることを意味します。

反発係数の応用例

反発係数は、様々な場面で重要な役割を果たします。

スポーツ: 野球やゴルフボール、テニスボールなど、球技においてはボールの反発係数が重要です。ルールにおいても、ボールの反発係数を間接的に規定している場合が多いです。床への落下高さから跳ね返る高さを測定することで、反発係数を評価します。

math
e = \sqrt{\frac{h_f}{h_i}}


ここで、hiは落下高さ、hfは跳ね返った高さです。

工業: 機械設計において、部品同士の衝突時の衝撃を軽減するために、反発係数を考慮する必要があります。

交通: 自動車や航空機の衝突安全性においても、反発係数は重要な要素となります。

まとめ

反発係数は、2つの物体の衝突挙動を理解する上で重要な指標です。その値は衝突後の跳ね返りの大きさを示し、弾性衝突と非弾性衝突を区別する上で役立ちます。スポーツや工学など、様々な分野で応用されています。

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