剛体

剛体の力学：変形しない理想物体とその運動

はじめに

現実世界にある物体は、何らかの力が加わると必ず変形します。しかし、物体の変形が無視できるほど小さい場合、力学的な解析を簡略化するために「剛体」というモデルを用います。剛体とは、いかなる力に対しても変形しない仮想的な物体です。剛体の力学は、その運動を記述する理論であり、質点の力学とは異なり、物体の姿勢（回転）の変化も考慮します。

1. 剛体の静力学

剛体にかかる力を記述するには、力の大きさ、方向、作用点の3要素が必要です。質点では作用点は質点の位置と一致しますが、剛体では作用点を考慮する必要があります。ただし、剛体では作用点を力の作用線（力の方向に平行な直線）に沿って移動させても、力の効果は変わりません。

力の釣り合いを考える際には、力のベクトル和がゼロという条件に加え、力のモーメントのベクトル和もゼロという条件が必要です。力のモーメントは、作用点の周りの回転の傾向を表し、作用点の位置と力のベクトルで決定されます。

剛体の部分 i に作用する力 Fᵢ は、外力 fᵢ と内力 fᵢ,ⱼ の和で表されます。作用・反作用の法則により、内力の合力はゼロとなり、力の釣り合いと力のモーメントの釣り合いは外力のみで考えることができます。

2. 剛体の静力学的自由度

3次元空間における剛体の静力学的自由度は6です。これは、剛体上の3点の位置関係を定めれば、残りの点の位置も一意に決まることから導かれます。言い換えれば、3つの並進自由度（位置）と3つの回転自由度（姿勢）を持つということです。

3. 剛体の運動学

剛体の運動は、6つの自由度の時間発展で記述されます。これらの時間微分は、重心の速度と重心周りの角速度となります。剛体上の任意の点 P に対する別の点 i の相対位置と相対速度は、角速度を用いて表現でき、剛体の変形がないという条件を満たします。

4. 重心運動と重心周りの回転運動

剛体の全運動量は、各部分の運動量の和で表され、全質量が重心に集中した質点の運動量と等しくなります。同様に、全角運動量は各部分の角運動量の和で表されます。全角運動量から重心運動の軌道角運動量を引いたものが、重心周りの回転による角運動量です。この角運動量は、慣性モーメントと角速度の積で表されます。

5. 剛体の動力学

剛体の全運動量の時間変化は、剛体に作用する全力の合力に等しくなります。これはニュートンの運動方程式で表現され、重心の運動を記述します。同様に、全角運動量の時間変化は、剛体に作用する全力のモーメントの合力に等しく、オイラーの運動方程式で表現され、回転運動を記述します。

6. 並進運動と回転運動

剛体の運動は、重心の並進運動と重心周りの回転運動の合成として記述できます。並進運動はニュートンの運動方程式、回転運動はオイラーの運動方程式でそれぞれ記述されます。これらの式は、剛体に働く力の合力がゼロの場合、剛体は等速直線運動と等速回転運動をすることを示しています。

7. 剛体の運動エネルギー

剛体の運動エネルギーは、並進運動エネルギーと回転運動エネルギーの和で表されます。並進運動エネルギーは、重心の速度と質量で決まり、回転運動エネルギーは、角速度と慣性モーメントで決まります。

8. 剛体の慣性モーメント

慣性モーメントは、回転運動における慣性の大きさを表す量です。回転軸からの質量分布によって決まり、剛体の形状と質量に依存する定数です。慣性モーメントは、角運動量と角速度、トルクと角加[[速度]]の関係式の中に現れます。計算は、離散質点系では総和で、連続体では体積積分を用いて行います。

9. 慣性モーメントの計算方法

慣性モーメントの計算には、直交軸の定理と平行軸の定理が役立ちます。直交軸の定理は、薄い平板の場合に、互いに直交する2軸周りの慣性モーメントの和が、交点で面に垂直な軸周りの慣性モーメントに等しいという定理です。平行軸の定理は、重心を通る軸周りの慣性モーメントが既知であれば、それと平行な軸周りの慣性モーメントが計算できるという定理です。

参考文献

藤原邦男『物理学序論としての力学』
中村恒善 他『建築構造力学 図説・演習１』

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