可補束

束論において「可補束」は、特定の性質を持つ有界束として定義されます。

束とは、集合S上の二項演算「交わり（meet、記号: ∧）」と「結び（join、記号: ∨）」が定義され、結合法則、交換法則、吸収法則を満たす代数構造です。さらに、束が「有界」であるとは、その集合Sの中に、すべての元よりも小さいか等しい特別な元「最小元（記号: 0）」と、すべての元よりも大きいか等しい特別な元「最大元（記号: 1）」が存在することを指します。

可補束の定義

可補束とは、このような有界束のうち、以下の条件を満たすものをいいます。

すべての元 x ∈ S に対して、ある元 y ∈ S が存在し、以下の二つの等式を同時に満たすこと。
x と y の交わりが最小元に等しい: `x ∧ y = 0`
x と y の結びが最大元に等しい: `x ∨ y = 1`

この条件を満たす元 y を x の「補元」と呼びます。

補元の一意性

一般的に、可補束においてある元 x の補元は一つに定まるとは限りません。複数の元が x の補元となり得ます。しかし、可補束が特別な性質である「分配法則」を満たす場合、補元は存在すれば必ず一つだけになります。

分配法則とは、束の任意の三つの元 x, y, z に対して、以下の等式が成り立つ性質です。

`x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)`

この分配法則が成り立つ束を「分配束」といいます。したがって、分配束であるような可補束においては、各元に対する補元はただ一つに定まります。このとき、ある元を一意に定まったその補元に対応させる写像は、順序関係を反転させる性質（対合性）を持ちます。

ブール代数は、可補束であり、かつ分配束である代表的な例です。ブール代数においては、各元の補元は常に一意に存在します。

直交相補束

可補束と関連の深い概念に「直交相補束」があります。これは、有界束 L と、L上の写像 `⊥` （直交補元写像と呼ばれる）の組 `(L, ⊥)` で、以下の三つの性質を満たすものをいいます。

1. 補元条件: すべての元 a ∈ L に対して、`a⊥ ∨ a = 1` かつ `a⊥ ∧ a = 0` が成り立つ。 (`a⊥` は a の直交補元を示す)
2. 対合性: すべての元 a ∈ L に対して、`(a⊥)⊥ = a` が成り立つ。
3. 順序反転性: すべての元 a, b ∈ L に対して、a ≤ b ならば `b⊥ ≤ a⊥` が成り立つ。

直交相補束の第一の条件は、可補束における補元の存在条件と一致しています。第二の条件は、直交補元写像が自己の逆写像である（二回適用すると元に戻る）ことを示し、第三の条件は、写像が順序関係を逆転させることを示しています。

一つの束に対して、複数の直交相補束としての構造（すなわち、上記の条件を満たす異なる写像 `⊥`）が存在する場合があることに注意が必要です。例えば、有限次元線形空間の部分空間のなす束は、内積の取り方によって異なる直交相補束構造を持ち得ます。

直交相補束は、ブール代数と同様に以下のド・モルガンの法則を満たします。

`(a ∨ b)⊥ = a⊥ ∧ b⊥`
`(a ∧ b)⊥ = a⊥ ∨ b⊥`

これらの束論の概念は、数学の様々な分野、例えば代数、論理学、あるいは量子力学の基礎理論などに応用されています。

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