対合

対合（ついごう、たいごう、involution）とは

数学における対合（ついごう、たいごう、involution）とは、ある写像が、自分自身をその逆とする性質を持つもののことを指します。これは、ある変換を2回繰り返すと元の状態に戻る、という直感的なイメージで捉えることができます。ただし、恒等変換（何も変換しない変換）は通常、対合とは見なされません。

対合の定義と性質

より具体的に言うと、対合は空間上の変換として理解できます。この変換をφとすると、任意の点xに対して、φ(φ(x)) = x が成り立ちます。この性質は、変換を2回繰り返すと、元の状態に戻ることを意味します。対合は、変換群の中で位数2の要素としても表現できます。これは、群の要素を2回作用させると単位元（何も変換しない状態）になることを意味します。

対合の例

対合の概念を理解するために、いくつかの例を見てみましょう。

平面上の鏡映: 平面上の任意の点xを、ある直線lに関して対称な点φ(x)に写す操作は、対合の一例です。この鏡映操作を2回繰り返すと、点は元の位置に戻ります。
補集合の操作: 集合Aに対して、普遍集合Sにおける補集合Acをとる操作も対合です。補集合の補集合は元の集合に戻ります。つまり、(Ac)c = Aが成り立ちます。
複素共役: 複素数zに対して、その共役複素数zをとる操作も対合です。共役複素数の共役複素数は、元の複素数zに戻ります。すなわち、(z) = zが成り立ちます。

対合付き代数系

対合の概念は、群、環、代数系といった数学的構造にも拡張されます。

対合付き群: 群Gとその上の写像I: G → Gが対合であり、かつI(gh) = I(h)I(g)を満たすとき、(G, I)を対合付きの群と呼びます。群の逆元をとる演算は、この条件を満たす代表的な対合の例です。
対合付き環: 環Rとその上の写像: R → Rが対合であり、(a+b) = a+b, (ab) = ba, (a)=aを満たすとき、(R, )を対合付き環と呼びます。
対合付き代数系: 一般の代数系Aとその上の対合σが、Aからその逆代数系Aoppへの準同型であるとき、(A, σ)を対合付き代数系と呼びます。例えば、n次全行列環Mn(K)において、行列を転置する写像tは、(Mn(K), t)が対合付き多元環となる例です。

対合で生成される群

鏡映群やコクセター群は、対合（位数2の元）からなる生成系を持つ群として知られています。これらの群は、幾何学的な対象の対称性を記述する上で重要な役割を果たします。

対合の応用

対合は、数学の様々な分野で応用されています。例えば、

量子力学: 量子力学における時間反転演算子は、対合の一例です。
幾何学: 鏡映変換は、幾何学的な対象の対称性を調べるための基本的な道具です。
暗号理論: 対合は、暗号アルゴリズムを設計する際に利用されることがあります。

まとめ

対合は、数学における重要な概念であり、様々な分野でその姿を現します。この概念を理解することは、数学的な構造をより深く理解するための第一歩となるでしょう。対合は、対称性や反転といった基本的な概念を捉えるための強力なツールであり、数学、物理学、計算機科学など幅広い分野で応用されています。

参考文献

-環（-algebra; 対合つき多元環）
C-環(C型対合つき多元環)
コクセター群
* 双対

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