可除特異点

複素解析における可除特異点

複素解析において、正則関数の特異点の中でも、特別な性質を持つのが「可除特異点」です。これは、特異点において関数を適切に再定義することで、その点を正則な点に拡張できる特異点を指します。まるで、関数がその点で一時的に「つまずいた」だけで、実際には滑らかに延長できるような状態です。

例：sinc関数

典型的な例として、sinc関数 `f(z) = sin(z) / z` が挙げられます。この関数はz=0で定義されていませんが、極限値は1に収束します。したがって、f(0)を1と定義することで、z=0における特異点を除去し、拡張された関数はz=0でも正則になります。この特異点は、関数の不定形によるものであり、本質的な特異点ではありません。

定義

複素平面C上の開集合Uとその一点aに対して、関数f: U∖{a}→Cが正則であるとします。点aがfの可除特異点であるとは、正則関数g: U→Cが存在し、U∖{a}上でfとgが一致する場合をいいます。このとき、fはU上に正則に拡張できると言います。

リーマンの可除特異点定理

可除特異点の重要な性質を述べたのが、リーマンの可除特異点定理です。この定理は、可除特異点であるためのいくつかの同値な条件を示しています。

定理

複素平面上の開集合D、D内の一点a、そしてD∖{a}上で定義された正則関数fについて、以下の条件は同値です。

1. fはaに正則に延長できる。
2. fはaに連続的に延長できる。
3. aのある近傍においてfは有界である。
4. `lim (z→a) (z-a)f(z) = 0`

この定理の証明では、まず1⇒2⇒3⇒4が容易に示されます。そして、4⇒1を示すには、関数h(z)を以下のように定義します。

`h(z) = (z-a)²f(z) (z≠a), h(a) = 0`

条件4から、h(z)はaにおいて微分可能であり、h'(a)=0となります。したがって、h(z)はaの近傍でテイラー展開でき、その展開からf(z)のaにおける正則な拡張g(z)が得られます。

その他の特異点

可除特異点以外にも、正則関数の特異点には、極と真性特異点があります。

極: 除去不可能な特異点で、`lim (z→a) (z-a)^(m+1) f(z) = 0` となるような正整数mが存在する場合です。最小のmを極の位数と呼びます。可除特異点は位数0の極とみなせます。
真性特異点: 除去可能でも極でもない特異点です。この場合、ピカールの大定理により、fはaの任意の穴あき近傍を高々一点を除いて全平面に写すことが分かります。

まとめ

可除特異点は、関数の振る舞いを注意深く見ると、実は除去可能な特異点であることが分かります。リーマンの定理は、この性質を様々な観点から捉え、可除特異点であるための条件を与えてくれます。これに対し、極や真性特異点は、より本質的な特異点であり、関数の挙動に大きな影響を与えます。これらの特異点の理解は、複素解析における関数論の理解に不可欠です。

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