商の微分法則

商の法則：微分積分学における2つの関数の商の導関数

微分積分学において、商の法則は、2つの可微分関数の比（商）で表される関数の導関数を効率的に求めるための重要な公式です。この法則は、複雑な関数の微分を簡略化し、計算を容易にする上で非常に役立ちます。

定義

2つの可微分関数 g(x) と h(x) （ただし、h(x) ≠ 0）があり、それらの商として定義される関数 f(x) = g(x) / h(x) を考えます。このとき、f(x) の導関数 f'(x) は、以下の商の法則を用いて計算できます。


f'(x) = [g'(x)h(x) - g(x)h'(x)] / [h(x)]^2


ここで、g'(x) と h'(x) はそれぞれ g(x) と h(x) の導関数を表します。この公式は、分子と分母のそれぞれの導関数を用いて、元の関数の導関数を表現しています。分子の計算は、微分の積の法則と類似した構造を持ち、分子と分母の導関数の積の差として表されます。一方、分母は元の分母の2乗となります。

導出

商の法則は、微分の定義と代数的操作によって導出できます。関数の導関数の定義から始め、極限を用いた計算を通じて上記の公式が導かれます。この導出過程では、分子と分母に共通の項を掛け合わせることで、極限の計算を容易に行うことができます。詳しい導出過程は、多くの微分積分学の教科書で解説されています。

例題：tan(x) の導関数

商の法則の具体的な適用例として、三角関数 tan(x) の導関数の計算を考えましょう。tan(x) は sin(x) / cos(x) と表せるため、商の法則を用いることができます。

g(x) = sin(x)、h(x) = cos(x) とすると、g'(x) = cos(x)、h'(x) = -sin(x) となります。これらの値を商の法則の公式に代入すると、以下のようになります。


(d/dx)tan(x) = [cos(x)cos(x) - sin(x)(-sin(x))] / [cos(x)]^2 = [cos^2(x) + sin^2(x)] / cos^2(x) = 1 / cos^2(x) = sec^2(x)


このように、商の法則を用いることで、tan(x) の導関数が sec^2(x) であることが簡単に導かれます。

高階導関数

商の法則は、高階導関数の計算にも応用できます。例えば、2階導関数を求める場合、1階導関数に商の法則を再度適用することで計算が可能です。陰関数微分を用いると、より効率的に高階導関数を計算できる場合もあります。一般に、n階導関数は、それより低い階の導関数を使って再帰的に表現することができます。

まとめ

商の法則は、微分積分学において重要な役割を果たす公式です。2つの関数の商の導関数を簡単に計算できるため、複雑な関数の微分を容易に行うことができます。本記事で示した例題や高階導関数への応用を通して、商の法則の理解を深めていただければ幸いです。さらに深く理解したい場合は、微分積分学の専門書を参照することをお勧めします。

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