関数の微分

関数の微分：詳細解説

微分積分学において、関数の微分は、関数の変化率を表す重要な概念です。直感的には、変数の微小な変化に対する関数の変化の主要部を捉えたものです。本記事では、関数の微分の定義から、多変数関数への拡張、高階微分、そしてその性質までを詳細に解説します。

一変数関数の微分

一変数関数 y = f(x) の微分 dy は、導関数 f'(x) と x の微分 dx を用いて、以下のように定義されます。

math
dy = f'(x)dx


ここで、dx は x とは独立な変数です。この式は、関数の変化量 Δy を dx が小さい範囲で線形近似したものであり、

math
Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy


という近似が成り立ちます。誤差は Δx → 0 の時に相対的に小さくなります。

多変数関数の微分

多変数関数 y = f(x₁, ..., xₙ) の微分は、全微分と呼ばれ、各変数に関する偏微分を用いて以下のように表されます。

math
dy = ∂y/∂x₁ dx₁ + ... + ∂y/∂xₙ dxₙ


これは、各変数の微小変化に対する関数の変化量の主要部を合計したものです。厳密には、フレシェ微分可能性に基づいて定義され、誤差項は各変数の増分が 0 に近づくにつれて相対的に小さくなります。

高階微分

一変数関数 f(x) の n 階微分 dⁿy は、以下のように定義されます。

math
dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ


これは、n 階導関数と dx の n 乗の積で表されます。x 自体が他の変数の関数である場合は、高階微分の式はより複雑になります。例えば、2 階微分の場合は、

math
d²y = f''(x)(dx)² + f'(x)d²x


となります。多変数関数についても同様に高階微分が定義され、多項係数を用いた複雑な式で表されます。

微分の性質

関数の微分は、以下の重要な性質を持ちます。

線形性: d(af + bg) = a df + b dg
積の微分法則: d(fg) = f dg + g df
* 連鎖律: 合成関数の微分は、各関数の導関数の積で表されます。

これらの性質は、微分計算を簡略化し、様々な問題への応用を可能にします。

多次元への一般化

ユークリッド空間 Rⁿ から Rᵐ への関数 f に対しても、微分の概念を拡張できます。関数 f の微分 df(x) は、ヤコビ行列 A を用いて、

math
Δf = AΔx + ||Δx||ε


と表されます。ここで、Δx → 0 のとき ε → 0 となります。この行列 A は、関数の線形近似を与え、フレシェ微分と呼ばれます。この概念は、バナッハ空間などのより一般的な関数空間にも拡張できます。

まとめ

本記事では、関数の微分の定義から、多変数関数、高階微分への拡張、そしてその性質までを詳細に解説しました。関数の微分は、関数解析や微分幾何学などの様々な分野で基礎的な役割を果たしており、その理解は数学における高度な概念の理解に不可欠です。 さらに、物理学や工学など、多くの分野で応用されています。

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