固有状態

量子力学における固有状態

量子力学において、ある物理量の測定値が常に一定となる特別な状態を「固有状態」と呼びます。これは、物理量を表す演算子（オブザーバブル）に対する固有ベクトルに対応します。

固有状態とは？

ある物理量 A を測定するとき、系の状態が A の固有状態 |a⟩ であるならば、測定値は対応する固有値 a になります。これは、どのような測定を行っても、同じ結果 a が得られることを意味します。言い換えれば、物理量 A が確定した値 a を持つ状態が、A の固有状態です。

数学的には、A の固有状態 |a⟩ は以下の固有値方程式を満たします。

\(\hat{A}|a\rangle = a|a\rangle\)

ここで、\(\hat{A}\) は物理量 A を表す演算子、a は対応する固有値です。

一般に、量子系の物理量測定は確率的な結果をもたらしますが、系が固有状態にある場合は、測定値は常に固有値に一意的に決定されます。これは、固有状態がその物理量に関する情報を完全に含んでいることを示唆しています。

エネルギー固有状態

特に重要な固有状態として「エネルギー固有状態」があります。これは、系のエネルギーを表す演算子であるハミルトニアン \(\hat{H}\) の固有状態です。時間依存しないシュレーディンガー方程式

\(\hat{H}|\psi\rangle = E|\psi\rangle\)

は、ハミルトニアンの固有値方程式であり、その解 |ψ⟩ はエネルギー固有状態です。対応する固有値 E は系のエネルギーを表します。エネルギー固有状態では、エネルギー測定値は常に E になります。

エネルギー固有状態は、時間とともに変化しない「定常状態」と密接に関連しています。時間依存するシュレーディンガー方程式を解くと、エネルギー固有状態の時間発展は、状態ベクトル全体にかかる位相因子しか変化しないことが分かります。この位相因子は観測可能な物理量には影響を与えないため、エネルギー固有状態は時間的に不変であると結論付けられます。

同時固有状態

複数の物理量を同時に測定することが可能な場合があります。2つの物理量 A と B を表す演算子 \(\hat{A}\) と \(\hat{B}\) が交換関係

\[[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} = 0\]

を満たす場合、A と B の両方の固有状態であるベクトル |a, b⟩ が存在します。これを「同時固有状態」といいます。同時固有状態では、A と B の両方の測定値が確定しています。

まとめ

固有状態は、量子力学における重要な概念です。特定の物理量の測定値が確定している状態として、量子系の性質を理解する上で不可欠な役割を果たしています。特にエネルギー固有状態は、系の定常状態を記述する上で重要であり、量子現象の理解の基礎となります。複数の物理量の同時測定可能性と同時固有状態は、量子力学のより高度な理解につながります。

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