増分定理

増分定理 (Increment Theorem)

増分定理は、数学の一分野である超準解析において中心的な役割を果たす定理の一つです。この定理は、可微分関数における独立変数のごく小さな変化（無限小の変化）が、従属変数の変化（増分）にどのように影響するかを記述します。具体的には、無限小に対応する関数の増分が、その点での微分係数に無限に近くなることを示します。

この定理は、通常の微分積分学、すなわち標準解析における微分の定義や平均値の定理、あるいは一次のテイラーの定理と実質的に等価な内容を、無限小や超実数といった超準解析特有の概念を用いて表現したものです。

定理の主張 (超準解析)

実関数 $y = f(x)$ がある点 $x$ において微分可能であるとします。ここで、$x$ および関数 $f$ は固定して考えます。

独立変数 $x$ の無限小の変化を $\Delta x$ という無限小超実数で表します。この $\Delta x$ に対応する関数 $y$ の増分を $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ と定義します。

増分定理は、この $\Delta x$ に対して、ある無限小超実数 $\varepsilon$ が存在し、以下の関係が成り立つことを主張します。

$\Delta y = f'(x) \Delta x + \varepsilon \Delta x$

ここで、$f'(x)$ は点 $x$ における関数 $f$ の微分係数です。

この式は、関数の増分 $\Delta y$ が、微分係数 $f'(x)$ に変化量 $\Delta x$ を乗じた項と、無限小 $\varepsilon$ に $\Delta x$ を乗じた無限小の項（$\varepsilon \Delta x$ も無限小となります）の和として表されることを示しています。

特に、$\Delta x
eq 0$ である場合、上の式の両辺を $\Delta x$ で割ると、次のようになります。

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x) + \varepsilon$

この式は、増分率 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ が微分係数 $f'(x)$ に無限小 $\varepsilon$ を加えたものであることを意味します。つまり、増分率 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ は微分係数 $f'(x)$ に無限に近い（$\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f'(x)$）のです。

微分係数 $f'(x)$ は常に標準実数（通常の意味での実数）であるため、この関係は $f'(x)$ が増分率 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ の標準成分、すなわち無限小部分を除いた有限部分に等しいことを示しています。これを記号で $f'(x) = st\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)$ と表すこともあります。

標準解析との対応

増分定理の内容は、標準解析における微分の定義や関連する定理と深く結びついています。

標準解析において、$y = f(x)$ が $x$ で微分可能であるというとき、これは極限

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = f'(x)$

が存在することを意味します。この極限の定義は、$\Delta x$ をゼロに近づく変数として考えるものです。

増分定理は、この標準解析的な極限の関係を、超準解析の無限小という概念を用いて捉え直したものと言えます。

標準解析における対応する主張は、$\Delta x$ を任意の（ゼロに近づく）非ゼロ実数の変数と考えた場合に述べられます。このとき、増分 $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ は $\Delta x$ の関数と見なせます。

標準版の主張は、$\Delta y = f'(x) \Delta x + \varepsilon \Delta x$ という形式は同じですが、ここでの $\varepsilon$ は $\Delta x$ に依存する関数であり、$\Delta x$ がゼロに近づくにつれて $\varepsilon$ もゼロに収束するという条件、すなわち $\lim_{\Delta x \to 0} \varepsilon = 0$ を満たさなければならないという点に違いがあります。

超準解析の増分定理は、この「$\Delta x$ がゼロに近づくとき、増分率と微分係数の差がゼロに近づく」という標準的な事実を、「$\Delta x$ が無限小のとき、増分率と微分係数の差が無限小である」という、より直感的ともいえる形で表現し直したものと言えます。

この定理は、超準解析を用いた微分積分学の展開において、微分可能性や連鎖律などの重要な概念を導出するための基礎となります。

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