無限小

無限小（むげんしょう）

数学における無限小とは、観測できるいかなる尺度よりも小さい、しかしゼロではないと見なされる極めて微小な「量」あるいは概念です。驚くべきことに、これらの量はどれほど小さくても、角度や傾きといったある種の性質を保つことが実証的に観察されています。

歴史的背景

「infinitesimal」という用語は、17世紀にラテン語の「infinitesimus」（列の「無限番目」を意味する）から造られたとされ、メルカトルあるいはライプニッツが1670年頃に導入したと考えられています。無限小は、ライプニッツが「連続の法則」や「同質性の超限法則」といった経験則に基づき展開した無限小解析の中核をなす要素でした。無限小の対象は、「いかなる測定値よりも小さいがゼロではない」とか、「適切な意味でゼロと区別できないほど小さい」と表現されることがあります。形容詞的に用いられる場合、「極めて小さい」という意味で使われます。このような量が意味を持つためには、しばしば微分商のように、文脈内にある他の無限小量と比較されることが求められます。また、無限個の無限小を合計することで、積分が得られると考えられました。

無限小的な考え方の萌芽は古くから見られます。アルキメデスは著書『方法』で、不可分の方法を用いて図形の面積や体積を計算しました。これは現代の積分の考え方に通じるものです。15世紀にはニコラウス・クザーヌスが円を無限多角形と見なす方法を考案し、17世紀にはケプラーがさらに詳細に研究しました。16世紀のシモン・ステヴィンによる任意の実数の十進表示の業績は、現代的な実数連続体を考える基礎となりました。カヴァリエリの不可分の方法は、幾何学的な図形をそれより1次元低い要素に分解するものでしたが、ジョン・ウォリスはこれを拡張し、図形を同じ次元の無限に細い構成要素に分解することで、積分法の一般手法の基礎を築きました。ウォリスは面積計算で無限小を `1⁄∞` と表記しています。

18世紀には、オイラーやラグランジュといった数学者たちが日常的に無限小を用いていました。コーシーは『解析教程』で無限小を「連続量」またはディラックのデルタ関数に先行する概念として定義しました。カントールやデデキントがステヴィンの実連続体を抽象的に定式化したのと同様に、パウル・デュ・ボア＝レーモンは関数の増大率に基づいて「無限小で豊饒化された連続体」に関する研究を行いました。彼の仕事はエミール・ボレルとトアルフ・スコーレムに影響を与え、スコーレムは1934年に算術の超準モデルを創出しました。

無限小やライプニッツの連続の法則を数学的に厳密に定式化したのは、1961年のアブラハム・ロビンソンです。彼は超準解析を開発し、超実数を用いて無限小で豊饒化された連続体を厳密に表現しました。ロビンソンの移行原理は、ライプニッツの連続の法則を厳密化したものです。

一階の性質と数体系の拡張

実数の体系に無限大や無限小の量を加えた拡張体系を考える際、実数が持つ「基本的な」性質を可能な限り保ちたいと考えられます。ここで言う「基本的」な性質とは、通常、個々の要素に関する量化のみを行い、集合に対する量化を行わない「一階論理」で表現できる命題を指します。例えば、「任意の数xに対してx+0=xが成り立つ」といった主張は一階論理で表現可能です。

しかし、無限小を含むように拡張された数体系は、集合に関する量化を含む全ての性質で実数と同じ挙動を示すわけではありません。例えば、無限小を含む体系は非アルキメデス的であるため、集合に関する量化で表現されるアルキメデスの公理は成り立ちません。また、実数体が一意な完備順序体であるような完備性も、拡張体系では期待できません。

実数の一階の性質と両立する非アルキメデス的数体系にはいくつかのレベルがあります。最も弱い「順序体」のレベルでは、実数の一階の性質の一部に従いますが、「実閉体」のレベルでは、基本的な演算に関する全ての一階の性質を持ちます。さらに強い体系では、超越関数を含む任意の関係についても実数と同じ一階の性質を持ちます。弱いレベルの体系は構成が容易ですが、古典的な解析学を完全に展開することは難しくなります。

無限小を含む具体的な数体系

無限小を含むように拡張された数体系には様々な種類があります。

形式級数体: 例えば、有限個の負冪を持つローラン級数の体は、実数の分類でいう「順序体」の例です。構成は比較的容易ですが、基本的な無限小が平方根を持たないなど、実数とは異なる一階の性質も持ちます。
レヴィ-チヴィタ体: ローラン級数体に似ていますが、代数閉体であり、基本無限小が平方根を持ちます。解析学を展開するのに十分豊かであり、計算機上での表現も可能です。
超越級数体: レヴィ-チヴィタ体よりも大きな体系です。
超現実数体: コンウェイによって導入され、数の大きさに関して非常に豊かな体系ですが、全ての解析関数を導入できるわけではありません。
超実数体: アブラハム・ロビンソンによって開発された体系で、無限小を扱う上で最も広く知られています。実数の持つ全ての一階の性質を持つ（移行原理）ため、古典的な解析学を超実数上で展開することができます。
準超実数体: 超実数体の一般化です。
二重数環: 線型代数学で用いられ、ε² = 0を満たす特別な「無限小」εを実数に添加した環です。自動微分に応用されます。
滑らかな無限小解析: 圏論を基盤とし、直観主義論理を用いるアプローチです。x²=0 かつ x≠0 となるような複零無限小の存在を許容する場合があります。

これらの多様な体系は、無限小という概念が数学の様々な分野で異なる形で定式化され、活用されていることを示しています。

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