変位演算子

量子光学における変位演算子

量子光学の領域で、変位演算子は特に重要な役割を果たしています。この演算子は、光学位相空間において特定の方向にシフトする操作を表します。具体的には、変位演算子

\[ \hat{D}(\alpha) = \exp\left(\alpha \hat{a}^{\dagger} - \alpha^{\ast} \hat{a}\right) \]

と定義されます。ここで、\( \alpha \) は変位の大きさを示す複素数であり、\( \hat{a}^{\dagger} \) は生成演算子、\( \hat{a} \) は消滅演算子です。

この演算子の名が示す通り、位相空間における局在状態は、\( \alpha \) の大きさだけ変位することができます。さらに、この演算子は真空状態に作用することでコヒーレント状態を生成する特性を持っています。すなわち、

\[ \hat{D}(\alpha) |0\rangle = |\alpha\rangle \]

ここで、\( |\alpha\rangle \) はコヒーレント状態の固有状態です。

性質

変位演算子にはいくつかの興味深い性質があります。まず、この演算子はユニタリー演算子であり、以下の関係が成り立ちます。

\[ \hat{D}(\alpha) \hat{D}^{\dagger}(\alpha) = \hat{D}^{\dagger}(\alpha) \hat{D}(\alpha) = \hat{1} \]

また、エルミート共役の性質から、変位演算子のエルミート共役は反対の大きさの変位に対応します。

\[ \hat{D}^{\dagger}(\alpha) = \hat{D}(-\alpha) \]

生成消滅演算子に対する変位演算子の効果も興味深いものです。変位演算子による相似変換により、生成消滅演算子が変位されます。

\[ \hat{D}^{\dagger}(\alpha) \hat{a} \hat{D}(\alpha) = \hat{a} + \alpha \]

\[ \hat{D}(\alpha) \hat{a} \hat{D}^{\dagger}(\alpha) = \hat{a} - \alpha \]

これは、2つの変位演算子の積もまた変位演算子であることを意味し、全体の変位は個々の変位を単純に加えたものとして表すことができます。

\[ \hat{D}(\alpha) \hat{D}(\beta) = e^{(\alpha \beta^{\ast} - \alpha^{\ast} \beta)/2} \hat{D}(\alpha + \beta) \]

この関係は、ベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式を通して証明することができます。

別の表現

変位演算子は、いくつかの方法で表現可能です。たとえば、以下の2つの形が考えられます。

\[ \hat{D}(\alpha) = e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2} e^{+\alpha \hat{a}^{\dagger}} e^{-\alpha^{\ast} \hat{a}} \]

\[ \hat{D}(\alpha) = e^{+\frac{1}{2}|\alpha|^2} e^{-\alpha^{\ast} \hat{a}} e^{+\alpha \hat{a}^{\dagger}} \]

このように、量子光学における変位演算子は、複雑な振る舞いと数学的特性を持ちながら、コヒーレント状態の生成や多重モードの変位を含む幅広い応用があります。

多重モードの変位

量子光学の研究は多重モードに対しても拡張されます。多重モードの生成演算子は次のように定義されます。

\[ \hat{A}_{\psi}^{\dagger} = \int d\mathbf{k} \psi(\mathbf{k}) \hat{a}^{\dagger}(\mathbf{k}) \]

ここで、\( \mathbf{k} \) は波数ベクトルで、振動数 \( \omega_{\mathbf{k}} \) との関係が存在します。

多重モードの変位演算子は次のように表現されます。

\[ \hat{D}_{\psi}(\alpha) = \exp\left(\alpha \hat{A}_{\psi}^{\dagger} - \alpha^{\ast} \hat{A}_{\psi}\right) \]

一般的に、多重モードのコヒーレント状態は次のように定義されます。

\[ |\alpha_{\psi}\rangle \equiv \hat{D}_{\psi}(\alpha) |0\rangle \]

このように、量子光学における変位演算子は、理論的な理解を深めるための重要な基礎となっています。

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