変数 (数学)

変数 (数学)

数学、特に解析学において変数は、未知あるいは不定の数や対象を表す文字記号のことです。代[[数学]]の文脈では不定元の意味で変数と言うことがあり、方程式においては、特別な値をとることが期待される場合、未知数とも呼ばれます。また、記号論理学などでは、変数の表す対象が「数」に限らないという意味合いを込めて変項とも言います。

概要

変数は通常、定数に対する言葉として理解され、値が変化するものと見なされます。正確には、変数には、それが現れる文脈ごとに、変数が値として取りうる範囲を示す集合（変域または定義域）が必ず決まっています。

重要な点として、変数は（特に代数的な意味において）、それ自身ではいかなる関係式も満たしません。しかし、1つまたは複数の変数を含む関係式を与え、その関係式を満たすような代入について考察することは頻繁に行われます。例えば、一次関係式を満足する平面上の点の集合として直線を考えることができます。

変域の中から代表として「無作為に1つ」選び出した数、すなわち変域内の「任意の値（任意定数）」として変数を捉えることも可能です。このような視点に立てば、変数と定数の違いは曖昧になります。通常は、変数を含む関係式を、このような任意定数の間の関係式とみなして差し支えなく、しばしばそのように解釈され、混同して議論が進められることがあります。「直線 y = ax + b 上の点を (x, y) と表す」などの言明は、変数記号と任意の値の代入が意識して混用される例です。

数列などの添字は媒介変数と呼ばれる変数の仲間です。これらは主たる変数ではないという意味で助変数と呼ばれることもありますが、本質的な違いはありません。

記法

変数を表す記号としては、ラテン文字の小文字 `x`, `y`, `z` やギリシャ文字の小文字 `ξ`, `η`, `ζ` などがよく用いられます。これはデカルトの記法に倣ったものです。添字には index の頭文字 `i` から始まって `j`, `k`, `l` などがよく用いられます。自然数や整数の添字であれば `m`, `n` などがしばしば用いられます（number あるいは natural number の頭文字に由来すると考えられます）。媒介変数としては `r`, `s`, `t`, `u` など主変数の周辺の文字がよく使われます。

多くの場合、`x` は第1変数、`y` は第2変数、`z` は第3変数として扱われ、空間内の点集合を扱うような場合ならば変数は3つでほとんど間に合いますが、変数の数が4つのときは `w` を加えて、`(w, x, y, z)` とする場合と、`(x, y, z, w)` に分かれます。前者はアルファベットの順番に並べただけであり、後者は `x` を第1変数として、`w` は4番目の変数として付け加えたということが強調される書き方です。

例えば物理学においては、解析力学、電磁気学や相対性理論などの分野で三次元空間の座標 `(x, y, z)` に、時間の `t` （相対論の場合は次元を揃えるために光速度 `c` が掛けられることが多い。理論の関係上さらに虚数単位 `i` を掛けることもある。）が加えられることになりますが、この場合も `t` （或いは `ct`, `ict`）と `(x, y, z)` のどちらを前に置くかということがあります。添字記法を使用して `x1, x2, x3, x4` とすることや、多重添字記法によりまとめて `(xμ)` と書くこともあります。この場合、`x = x1, y = x2, z = x3` とするために、時間座標を前に置くか後ろに置くかによって添字を `ct = x0` とする場合と `ct = x4` とする場合に分かれます。

一般に、無限個の場合を含む任意個数の変数を扱う場合には、用意する記号の都合上、添字記法に従う方が一般的です。

関連項目

アリティ
族 (数学)
媒介変数
自由変数と束縛変数
変数 (プログラミング)

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Variable". mathworld.wolfram.com (英語).
* Variable - PlanetMath.（英語）

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