媒介変数

媒介変数（パラメータ）とは

数学において、媒介変数（ばいかいへんすう）、助変数、補助変数、母数、径数、あるいはパラメータとは、主となる変数（主変数）を補助する目的で使用される変数のことです。各分野で特有の意味を持つことがありますが、一般的には、特定の系を決定し、分類し、または特徴づけるために役立つ量を指します。

媒介変数は、その変化が系の挙動に影響を与えるという意味で「変数」と見なすことができます。しかし、主変数の変化に伴う系の挙動を調べる際には、補助変数は「定数」として扱われることが多くなります。これは、補助変数が任意の値を取れるものの、特定の解析においては固定されるという意味です。

パラメータは、系の同定、状態や挙動の評価、あるいは条件の特定において、重要な役割を果たす要素となります。

函数における媒介変数

函数を定義する際、一つ以上の変数を独立変数として指定します。補助変数を含む形で函数を定義することも可能ですが、通常、補助変数は函数の引数としてはリストされません。補助変数を考慮に入れる場合、実際には単一の函数ではなく、函数の族全体を定義していると解釈する必要があります。

例えば、一般的な二次函数を `f(x) = ax² + bx + c` と定義する場合、`x` が引数であり、`a`, `b`, `c` は「任意定数」として扱われます。`a`, `b`, `c` の値を決めることで、特定の二次函数が決定されます。この意味で、`a`, `b`, `c` はこの二次函数の族のパラメータとなります。パラメータ `a` は放物線の形状を決定し、パラメータは個々の二次函数を特徴づける量となります。

函数がパラメータに依存することを明確にするために、パラメータを函数名に含めることがあります。例えば、底 `b` の対数を `log_b(x) = log(x) / log(b)` と定義する際、添え字 `b` はどの対数が使用されているかを示すパラメータです。このパラメータは対数函数の引数ではなく、「定数」として扱われます。

函数の定義に現れるすべての記号をパラメータと呼ぶこともありますが、どの記号を変数と見なすか、パラメータと見なすかによって、その函数が表す数学的対象自体が変化することがあります。

例えば、下降階乗冪 `n^k_ = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)` は、`k` を定数（パラメータ）と見なすと、`n` を変数とする多項式函数を定義します。しかし、`n` をパラメータとして固定すると、`k` を変数とする多項式函数とはなりません。このような状況を厳密に表すためには、多変数函数 `(n, k) -> n^k_` を考察の基本的な対象とし、カリー化などを用いてより少ない変数を持つ函数を定義します。

パラメータを含む函数の全体は、しばしば「パラメータ付けられた族」として、つまり、函数の添え字付けられた族として見なされます。

解析幾何学における媒介変数

解析幾何学では、曲線は区間 `I` から適切な空間（例えば `R^2`）への連続写像 `f` によって与えられます。この写像 `f` は径数付き曲線と呼ばれます。

例えば、原点を中心とする半径1の円は、`f: [0, 2π] -> R^2 : t -> (cos t, sin t)` と表すことができます。この表示は径数表示、または媒介変数表示と呼ばれます。円の方程式 `x^2 + y^2 = 1` は、三角関数の恒等式 `cos^2 t + sin^2 t = 1` を用いて媒介変数 `t` を消去することで得られます。このような表示は陰関数表示と呼ばれます。

連続写像によって写される終域が位相群であり、径数の加法が群構造を保つとき、それは一径数群と呼ばれます。

解析学における媒介変数

解析学では、補助変数に依存する積分がしばしば考慮されます。例えば、`F(t) = ∫[x0(t) to x1(t)] f(x; t) dx` において、`t` は函数 `F` の引数であると同時に、積分が依存するパラメータでもあります。積分の評価において、`t` は「定数」として扱われますが、`F` の値が `t` の変化に応じてどう変わるかを知りたい場合は、`t` を変数として扱う必要があります。`x` は積分変数と呼ばれるダミー変数であり、これも積分のパラメータと呼ばれることがあります。

論理学における媒介変数

論理学では、開述語に渡される項を「パラメータ」と呼び、述語内で局所的に定義されるパラメータを「変項」と区別する場合があります。この区別は、代入を定義する際の複雑さを避けるのに役立ちます。多くの場合、開述語に渡される項を単に変項と呼び、代入の定義では自由変数と束縛変数を区別します。

現象のモデル化におけるパラメータ

対象を数式でモデル化する際、その対象を表現する量はパラメータと呼ばれます。例えば、力学において、対象の運動は運動方程式によってモデル化されます。質点の運動であれば質量が、剛体の運動であれば質量に加えて寸法や形状が、流体の運動であれば密度や粘性係数などが、運動方程式を特徴付けるパラメータとして現れます。

例えば、バネとダンパーに接続された質点の運動は、`ẍ + (2/τ)ẋ + ω0²x = F/m` とモデル化されます。この力学系を特徴づけるパラメータは、時定数 `τ` と固有振動数 `ω0` です。

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