多項係数

多項係数について

数学では、多項係数は二項係数を一般化したものであり、様々な分野で利用されます。非負整数の列 k1, k2, ... , kr が与えられたとき、合計 n な場合に多項係数は定義されます。これは以下のように表現されます。

$$
\binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_r} := \frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_r!}
$$

ここで、$x!$ は x の階乗を示します。多項係数はまた、帰納的に定義することも可能です。

$$
\binom{n}{k_1, \ldots, k_r} = \binom{n-1}{k_1-1, k_2, \ldots, k_r} + \cdots + \binom{n-1}{k_1, \ldots, k_{r-1}, k_r-1}
$$

このように、要素を一つ減らすことで他の組み合わせを考慮します。多項係数は常に整数として得られますので、自然に関連する形で r-単体（パスカルの単体）として規則的に並べられます。この単体の中で、r が 3 の場合は、特に「パスカルの三角錐」として知られています。

二項係数との関係

多項係数は二項係数を通じても表現でき、多数の組み合わせを求めるために使用されることが多いです。これにより、多項係数は次のように表現されます。

$$
\binom{k_1 + k_2 + \ldots + k_r}{k_r} \cdot \binom{k_1 + k_2 + \ldots + k_{r-1}}{k_{r-1}} \cdots \binom{k_1}{k_1} = \prod_{i=1}^{r} \binom{\sum_{s=1}^{i} k_s}{k_i}
$$

この形は、様々な組み合わせを計算するのに役立ちます。

多項定理

多項係数の基本的な応用の一つとして、多項定理があります。これは二項定理を拡張したもので、次のように表現されます。

$$
(x_1 + x_2 + \ldots + x_r)^n = \sum_{k_1 + k_2 + \ldots + k_r = n} \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_r} \cdot x_1^{k_1} \cdots x_r^{k_r}
$$

特に、$x_1 = x_2 = ... = x_r = 1$ とした場合、非常にシンプルな形に変わります。

$$
r^n = \sum_{k_1 + k_2 + ... + k_r = n} \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_r}
$$

多項分布とその応用

統計学では、多項係数は多項分布で応用され、以下のように記述されます。

$$
P(X_1 = k_1, X_2 = k_2, \ldots, X_r = k_r) = \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_r} \cdot p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r}
$$

この式は、離散的な確率変数に関連する確率分布を表します。

組合せ論における解釈

多項係数の大きな役割の一つは、組み合わせ問題において対象を分配する方法を数える点にあります。たとえば、m 個の異なる対象を r 個の区別された箱に入れる際、各箱に ki 個ずつ入れる方法の総数が多項係数によって計算されます。

さらに、例えば "MISSISSIPPI" という単語の文字の配置を数える際にも、多項係数が用いられます。この場合、各文字の頻度が k1, k2, k3, k4 として分類され、最終的には34650通りの異なる言葉が得られます。これは次のように計算されます。

$$
\binom{11}{1, 4, 4, 2} = \frac{11!}{1! \cdot 4! \cdot 4! \cdot 2!} = 34650
$$

まとめ

多項係数は、数学における多くの問題を解決するための強力な道具であり、様々な分野でその応用が期待されます。特に組合せ論や確率論において線形性を生かしながら多くの現象をモデル化することが可能です。

もう一度検索