多項定理

多項定理

多項定理（たこうていり、英: multinomial theorem）は、複数の変数を使った冪の展開についての数学的な定理です。この定理は、特に二項定理の一般化とも位置づけられています。二項定理が2つの変数に対するものに対し、多項定理は任意の数の変数を考慮できます。

定理の内容

具体的には、正整数 $m$ と非負整数 $n$ に対して、$m$ 項の和の任意の $n$ 冪を展開すると、以下のようになります：

$$(x_1 + x_2 + \\ldots + x_m)^n = \\sum_{k_1 + k_2 + \\ldots + k_m = n} \binom{n}{k_1, k_2, \\ldots, k_m} x_1^{k_1} x_2^{k_2} \\ldots x_m^{k_m}$$

ここで、$\binom{n}{k_1, k_2, \\ldots, k_m}$ は多項係数と呼ばれ、次のように定義されます：

$$\binom{n}{k_1, k_2, \\ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1! k_2! \\ldots k_m!}$$

この式は、各項の指数の合計が $n$ になるように、$k_1, k_2, \\ldots, k_m$ が非負整数であることを前提としています。そのため、この定理を使うことで、和の冪を項ごとに分けて計算することが可能になります。

特殊な場合

特に $m=2$ の場合、多項定理は二項定理に帰着されます。例えば、次の式が成り立ちます：

$$(x_1 + x_2)^n = \\sum_{k_1 + k_2 = n} \binom{n}{k_1} x_1^{k_1} x_2^{k_2}$$

これにより、特定の変数の冪を計算する際に、簡単な形になります。

証明方法

多項定理の証明には主に二つのアプローチがあります。第一は、組合せ論的な証明です。これは、$n$ 個の $(x_1 + x_2 + \\ldots + x_m)$ の積を一度に展開し、すべての組み合わせを考えるという方法です。

もう一つは、数学的帰納法を使った証明です。まず、基本例として $n=1$ の時に成り立つことを確認し、次に一般的な $n$ に対して成り立つと仮定します。そこから $n+1$ の場合を考え、帰納法により定理を証明します。

具体例

例えば、$(a + b + c)^3$ を展開すると次のようになります：

$$(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 3b^2c + 3bc^2 + 3c^2a + 3ca^2 + 6abc$$

このように、多項定理を用いると、高次の多項式を簡潔に表現できます。

応用

多項定理は、数学の様々な分野、特に確率論や統計における多項分布の計算において重要です。また、一般化されたライプニッツの法則を使って、複数関数の高次導関数を求める際にも応用されます。

参考文献

• - 多項定理に関連する書籍やオンラインリソースを通じて、さらなる理解を深めることができます。

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