多項式の展開

多項式の展開についての解説

数学の分野で「多項式の展開」とは、複数の多項式が掛け合わさったとき、その結果を一つの多項式として表現することを指します。このプロセスは因数分解の逆の操作とも言えるため、展開する行為はしばしば「括弧を外す」という表現で語られます。展開に関しては、分配法則を使って機械的に行えるため、統一した方法論が存在しない因数分解とは異なり、解法が明確です。

分配法則の紹介

多項式の展開を理解するためには、まず分配法則の基本を押さえる必要があります。次のように表現されます。

$$
a(b + c) = ab + ac$$

この法則を応用することで、多項式の積を一つの多項式として表すことが可能です。たとえば、第二因子が $n$ 個の項の和である場合、分配法則を用いて以下のように書き換えます。

$$
a(b_1 + b_2 + imes + b_n) = ab_1 + ab_2 + \ldots + ab_n$$

さらに、第一因子が複数の項の和である場合を考えると、次のように展開されます。

$$
(a_1 + a_2 + \ldots + a_m)(b_1 + b_2 + \ldots + b_n)$$

この場合、第一因子を $A$ と見なすことで、$A(b_1 + b_2 + \ldots + b_n)$ という形になります。再度分配法則を適用すると、

$$
Ab_1 + Ab_2 + \ldots + Ab_n$$

さらに具体的な項に分けることができ、最終的には各項を組み合わせた形に整理されます。このようにして、展開の結果として得られる項の数は $m \times n$ となります。

具体例

例えば、$ (a + b + c)(x + y) $を展開すると結果は次の通りです。

$$
ax + ay + bx + by + cx + cy
$$

展開を行う過程を表形式で示すと、次のようになります。

$$
\begin{array}{c|ccc}
\times & a & b & c \\
\hline
x & ax & bx & cx \\
y & ay & by & cy
\end{array}
$$

このように展開した後、さらに簡単にできる場合も多くあります。例えば、$ (a + b)(a - b) $ の展開では、項同士が打ち消し合って $ a^2 - b^2 $ となります。このような計算も含めて「多項式の展開」と呼ばれ、数学教育においては展開の公式がよく教授されます。

冪級数への拡張

多項式は有限の項で構成されますが、無限の項を持つ冪級数に対する積の定義によって、従来の展開の方法が自然に拡張されています。たとえば、次のような形を考えます。

$$
\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots
$$

こちらの二つの冪級数の積は次のように定義されます。

$$
\left( \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i \right) \left( \sum_{j=0}^{\infty} b_j x^j \right) = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \sum_{i+j=k} a_i b_j \right) x^k
$$

この結果は、関数の積に相当する現象を引き起こします。

例

指数関数のテイラー展開を考えます。

$$
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots
$$

右辺の平方を展開すると、結果は以下のようになります。

$$\biggl(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots \biggr)^2 = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + \cdots
$$

このように展開の法則が様々な形で適用されることにより、多様な数学的な現象を分析することが可能となるのです。

もう一度検索