存在グラフ

存在グラフの概要

存在グラフ（英: existential graph）は、アメリカの哲学者であり論理学者のチャールズ・サンダース・パースによって考案された論理の視覚的表現方法です。1882年に彼はこの概念についての論文を発表し、1914年までその研究を続けました。存在グラフは、特に論理式をグラフとして表す手法の一つであり、命題論理や述語論理を視覚的に理解するための便利なツールです。

存在グラフの体系

パースは存在グラフを三つの異なる体系に分けて提案しました。それぞれの体系には異なる特性があります。

1. アルファ: これは命題論理と二値ブール代数に類似した体系であり、基本的な記法としてよく知られています。
2. ベータ: 一階述語論理に密接に関連しており、命題がより複雑な形式に延長されることを可能にします。
3. ガンマ: 正規様相論理にほぼ同型の体系であり、より高度な論理的表現が可能とされています。

アルファ体系の詳細

アルファは、命題論理を表現するための最も基本的な形式です。統語論的には、空白のページが「真」を示し、グラフの中のサブグラフは論理の関係を表します。特に、サブグラフを「cut」で囲むことによって論理否定を表現できる点が特徴です。ここで、cutは任意の形状を取り得ますが、交差することはできません。このように、サブグラフの深さがその論理的な役割を決定します。

ベータ体系の概念

ベータ体系では、述語を英語で表現することが奨励されており、パースのアプローチは現代の論理学においても重要な影響を与えています。特に「line of identity」によって、個体の存在が視覚的に示され、複数の述語が共通の変数を持つことが明示されます。ベータは自己完結した論理式の集合と見なされ、論理的な表現の範囲を広げる役割を果たしています。

ガンマ体系の進化

ガンマは、アルファグラフに新しい閉曲線を加えることで形式化されます。この新しい曲線は通常破線で描かれ、それが様相論理の単項作用素として機能します。Zemanによると、ガンマグラフは様相論理の一形態として位置付けられ、重要な正規性を持つものとされています。

パースの業績とその影響

パースは記号学の父とも言われ、その業績は多岐にわたります。彼の存在グラフは彼の数学者・論理学者としての業績の一環ですが、他の論理的体系や数学的方法論の重要性も大いに認識されています。彼の研究対象には、二値ブール代数、命題計算、量化といった幅広いテーマが含まれており、彼の業績は現代の論理や数学においても重要な位置を占めています。

パースの存在グラフは、晩年に至るまでも注目されることは少なかったが、RobertsやZemanの論文を通じて再評価され、研究者たちにとって新しい理解やアプローチの道を開くきっかけとなりました。

参考文献

本稿に関連する文献には、パース自身の論文をまとめた著作や、彼の理論に関する二次文献が含まれます。特に、RobertsやZemanの研究は、存在グラフの理解を深めるための貴重なリソースです。希望者は、これらの文献を通じてさらに深い探求を行うことができます。

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