量化

量化とは

量化（りょうか、英: Quantification）とは、言語や論理学において、論理式が適用される議論領域の個体の「量」を指定する概念です。簡単に言えば、「どれくらいの範囲に対して、ある性質が当てはまるか」を明確にするための方法です。

概要

例えば、算術では「全ての自然数にはその次の数が存在する」と表現したり、論理学では「ある議論領域に特定の属性を持つものが少なくとも1つ存在する」と表現したりします。これらの表現は、いずれも量化を行っています。量化を伴う言語要素を量化子（quantifier）と呼びます。

量化子は、述語や関数の自由変項を束縛することで、量化を可能にします。この束縛によって、変数が特定の範囲内でどのように扱われるかが明確になります。量化は、自然言語でも形式[[言語]]でも行われ、それぞれに異なる特徴があります。

自然言語では、「全ての」「いくつかの」「多くの」「一部の」といった言葉が量化子として機能します。一方、形式[[言語]]では、量化は論理式の構成要素として組み込まれ、ある式から別の式を生成する役割を果たします。量化は変項束縛操作の一例であり、その解釈は言語の意味論によって厳密に定義されます。

述語論理における量化

述語論理には、2つの基本的な量化があります。全称量化と存在量化です。

全称量化: 全ての要素についてある性質が成り立つことを示す量化子です。記号では "∀" で表されます。例えば、「全ての x について P(x) が成り立つ」は、∀x P(x) と記述されます。
存在量化: ある要素についてある性質が成り立つことを示す量化子です。記号では "∃" で表されます。例えば、「ある x について P(x) が成り立つ」は、∃x P(x) と記述されます。

これらの量化子は、MostowskiとLindströmの研究によって一般化されました。

自然言語における量化

自然言語も量化を多用します。たとえ完全な数体系がない言語でも、量化の概念は存在します。例えば、日本語では以下のような表現があります。

「全ての方針に目を通す必要がある」
「川を渡っている人のうち何人かが白い腕章をしている」
「私が話した人々のほとんどが、誰に投票するか決めていなかった」
「待合室の誰もが小沢氏に対する少なくとも1つの不満を持っていた」
「クラスの誰かが、私の出した全ての問題に答えられるはずだ」
「多くの人々は賢明である」

これらの文を量化を使わずに表現しようとすると、非常に複雑になり、論理和や論理積で単純に表現することはできません。この点からも、自然言語における量化表現の重要性がわかります。

自然言語における量化の研究は、形式[[言語]]に比べて難しい場合があります。なぜなら、自然言語の文法構造が論理構造を隠蔽することがあるからです。また、形式[[言語]]では量化子の妥当性の範囲が厳密に指定されますが、自然言語では意味論的な問題を考慮する必要が生じます。

モンタギュー文法は、自然言語の形式的な意味論を与える一つのアプローチです。その提唱者は、従来のフレーゲ、ラッセル、クワインらの手法よりも、より自然な形で自然言語を再現できると主張しています。

数学的記述における量化子の必要性

数学では、量化子は必要不可欠なものです。

例えば、次のような文があるとします。

`1·2 = 1 + 1、かつ 2·2 = 2 + 2、かつ 3·2 = 3 + 3、かつ ……、かつ n·2 = n + n、かつ ……`

これは命題の「無限論理積」であり、形式[[言語]]の観点からは問題があります。なぜなら、有限なオブジェクトを生成する統語的規則を期待しているからです。

しかし、量化子を用いることで、この問題は解決します。

全称量化: 「全ての自然数 n について、n·2 = n + n である。」と表現できます。

同様に、論理和の場合も存在します。

`1 は素数である、または 2 は素数である、または 3 は素数である、または …… 、または n は素数である、または ……`

存在量化: 「ある自然数 n があり、n は素数である。」と表現できます。

量化子を用いることで、無限の対象に対して簡潔な表現が可能になります。

量化子の入れ子

量化子が複数組み合わさると、表現の幅が広がりますが、注意も必要です。

例えば、次の文を考えてみましょう。

「任意の自然数 n について、s = n × n となる、ある自然数 s がある。」

これは、全ての数に平方が存在することを意味し、明らかに真です。

しかし、量化子の順序を変えると意味が変わってしまいます。

「ある自然数 s について、s = n × n となる、任意の自然数 n がある。」

これは、ある1つの自然数 s が、あらゆる自然数の平方であると主張することになり、明らかに偽です。

量化子の適用順序は、非常に重要です。

解析学における一様連続の概念は、量化子の順序によって意味が変化する良い例です。

各点連続:
`∀x∈R, ∀ε>0, ∃δ>0, ∀h∈R, |h|<δ ⇒ |f(x)−f(x+h)|<ε`
一様連続:
`∀ε>0, ∃δ>0, ∀x∈R, ∀h∈R, |h|<δ ⇒ |f(x)−f(x+h)|<ε`

この例からわかるように、量化子の順番を入れ替えるだけで、意味が大きく変わってしまうことがあります。

量化の範囲

量化は、特定の変項とその「議論領域」または「量化範囲」に関係します。量化範囲は、変数が取りうる値の集合を指します。量化範囲を明確にすることで、自然数について述べているのか、実数について述べているのか、といった区別が可能になります。

議論領域を制限する一般的な方法として、「ガード付き量化」があります。例えば、次の文を考えてみましょう。

「ある自然数 n について、n は偶数で、かつ n は素数である。」

これは、「ある偶数 n について、n は素数である。」と同じ意味になります。ガード付き量化を用いることで、議論領域をより限定的に表現できます。

数学の理論によっては、議論領域を1つに固定することがあります。例えば、ツェルメロ＝フレンケルの集合論では、変項の範囲は全ての集合です。この場合、ガード付き量化子は量化の範囲を狭めるために使われます。

量化子の記法

全称量化子は "∀" で、存在量化子は "∃" で表されます。これらを用いた量化式は次のようになります。

`∃x P ∀x P`

他にも様々な表記方法があります。

`∃x P (∃x)P (∃x. P) (∃x:P) ∃x(P) ∃x P ∃x, P ∃x∈N P ∃ x:N P`

全称量化についても同様の表記が用いられます。全称量化の他の記法としては、以下のようなものがあります。

`(x)P ∧xP`

記法によっては、量化範囲を明示的に示すものもあります。量化範囲は常に明確にするべきですが、数学の理論によって表現方法が変わります。

全ての量化の議論領域が固定されている場合（ツェルメロ＝フレンケルの集合論など）
一部の議論領域が固定されており、必要に応じて各変項の「型」として領域を宣言する場合（プログラミング[[言語]]の型システムなど）
毎回量化の範囲を明示的に示す場合（領域内のオブジェクトの集合をシンボルで表したり、領域内のオブジェクトの型を示すなど）

歴史

古典論理では、自然言語に近い方法で量化を扱っており、形式的な解析にはあまり向いていませんでした。アリストテレスの論理学では、「All」「Some」「No」といった概念を扱っていましたが、変項を用いた量化の概念はありませんでした。

変項ベースの量化を最初に導入したのは、1879年のゴットロープ・フレーゲの『概念記法』でした。フレーゲは、全称量化された変項を直線で窪ませて記述する独特な記法を採用しました。存在量化については、全称量化と否定を組み合わせる形で表現しました。

フレーゲの量化の扱いは、1903年のバートランド・ラッセルの『数学原理』まであまり注目されませんでした。一方、チャールズ・サンダース・パースとその学生O. H. Mitchellは、1885年に独自に全称量化子と存在量化子を生み出していました。パースとMitchellは、∀xと∃xをそれぞれΠxとΣxと記述していました。

この記法は、Ernst Schroder、Leopold Loewenheim、トアルフ・スコーレムらによって、1950年代ごろまで使われることになります。クルト・ゲーデルが、1930年の一階述語論理の完全性定理に関する論文と、1931年のペアノ算術の不完全性定理で採用したのも、この記法でした。

ジュゼッペ・ペアノは、全称量化を(x)と記し、1897年には存在量化を表す記法として(∃x)を採用しました。アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルの『数学原理』では、ペアノの記法が採用されています。また、ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインとアロンゾ・チャーチも生涯を通じて、ペアノの記法を使用しました。

ゲルハルト・ゲンツェンは、1935年にペアノの∃記号からの類推で∀記号を導入しました。しかし、∀が一般に浸透したのは1950年代になってからです。

関連項目

述語論理
一階述語論理・二階述語論理
数量詞
存在動詞
Fourier–Motzkin消去法
* イプシロン-デルタ論法



量化は、論理学、数学、計算機科学、言語学など、様々な分野で重要な役割を果たす概念です。その理解は、複雑な問題を分析し、より厳密な議論を行う上で不可欠です。

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