存在例化

存在例化 (Existential Instantiation)

存在例化は、述語論理において、存在量化子（∃）を含む命題から、具体的な対象を導入して推論を進めるための重要な規則です。これは、ある性質を満たすものが少なくとも一つ存在するという主張（(∃x)ϕ(x)）が与えられたとき、その性質を満たす具体的な対象を導入することで、論理的な推論を可能にするものです。

存在例化の基本

存在例化の基本的な考え方は、以下のように表現できます。

1. 前提: 「あるxについて、ϕ(x)が成り立つ」という命題 ((∃x)ϕ(x)) が真であると仮定します。
2. 結論: このとき、新しい定数記号 `c` を導入し、「ϕ(c)が成り立つ」と結論付けます。ここで、`c` は特定の具体的な対象を表します。

数式で表現すると、以下のようになります。


(∃x)ϕ(x)
---
ϕ(c)


ここで、`c` は証明中でまだ使用されていない新しい定数記号である必要があります。これは、導入された対象が既存の対象と同一であるという保証がないためです。

具体例

例えば、「何らかの動物は飛ぶことができる」という命題を形式的に表現すると、(∃x)Fx (Fx: xは飛ぶことができる) となります。この命題から、存在例化を適用すると、以下の推論が得られます。


(∃x)Fx
---
Fa


ここで、`a` は「飛ぶことができる」という性質を満たす具体的な動物を表す新しい定数です。ただし、`a` が具体的にどのような動物であるかは、この推論からは特定できません。

制約事項

存在例化を使用する際には、いくつかの重要な制約があります。

新しい定数の導入: 導入する定数記号 `c` は、証明のその時点まで使用されていない新しいものでなければなりません。もし、既に証明中に使用されている定数を再利用すると、誤った推論を導く可能性があります。
結論部への出現禁止: 導入された定数 `c` は、証明の結論部に現れてはなりません。これは、存在例化によって導入された対象が、特定の文脈においてのみ意味を持つことを保証するためです。

注意点

存在例化は強力な推論規則ですが、誤用すると誤った結論を導く可能性があるため、注意が必要です。特に、導入する定数が新しいものであるという制約を無視すると、推論が妥当でなくなる可能性があります。存在例化は、存在量化された命題を具体的な形で扱うための重要な手段であり、数学や論理学における多くの推論で重要な役割を果たします。

関連項目

* 存在の誤謬: 存在例化の誤用によって起こりうる誤謬の一つです。

まとめ

存在例化は、述語論理における基本的な推論規則であり、存在量化子を含む命題から具体的な対象を導入することで、より詳細な分析や推論を可能にします。しかし、その使用には制約があり、特に新しい定数を導入する点には注意が必要です。この規則を正しく理解し適用することで、論理的な推論を正確に進めることができます。

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