推論規則

推論規則とは

推論規則とは、論理学において、ある論理式から別の論理式を導き出すための規則です。形式的な推論を行う上で、推論規則は非常に重要な役割を果たします。これらの規則を用いることで、論理的な妥当性を持つ結論を導くことが可能になります。

公理系における推論規則

公理系は、記号、公理、代入規則、そして推論規則によって構成されます。公理は記号のみで記述されますが、推論規則や代入規則は、これらの記号に関するメタ言語で記述されます。つまり、推論規則は、記号自体ではなく、記号がどのように操作されるべきかという規則を定めるものです。

妥当性と推論規則

トートロジー（恒真式）から推論規則を導くと、その推論は妥当になります。妥当な推論とは、前提が真であれば結論も必ず真になるような推論のことです。推論規則は、この妥当性を保証するためのメカニズムを提供します。

古典論理における推論規則

古典論理では、以下のような代表的な推論規則が用いられます。

（ここで、「⊢」は推論を表すメタ言語の記号であり、A0, …, An-1 ⊢ B はA0, …, An-1 からBが導かれることを示します。）

演繹
モーダスポネンス: P, P→Q ⊢ Q (Pが真であり、PならばQが真であるならば、Qは真である)
モーダストレンス: ￢Q, P→Q ⊢ ￢P (Qが偽であり、PならばQが真であるならば、Pは偽である)
否定導入: P → ⊥ ⊢ ￢P (Pが矛盾を導くならば、Pは偽である)
普遍例化: ∀xψ(x) ⊢ ψ(a) (すべてのxについてψ(x)が真であるならば、特定のaについてψ(a)は真である)
普遍汎化：
存在例化：
存在汎化: ψ(a) ⊢ ∃xψ(x) (特定のaについてψ(a)が真であるならば、少なくとも一つのxについてψ(x)が真である)
二重否定の除去: ￢￢P ⊢ P (Pの否定の否定はPである)
二重否定の導入: P ⊢ ￢￢P (PはPの否定の否定である)
選言三段論法: P∨Q, ￢P ⊢ Q (PまたはQが真であり、Pが偽であるならば、Qは真である)
仮言三段論法: P→Q, Q→R ⊢ P→R (PならばQが真であり、QならばRが真であるならば、PならばRは真である)
導出: l∨P, ￢l∨Q ⊢ P∨Q
二条件導入:
二条件除去:
構成的ジレンマ:
破壊的ジレンマ:

アブダクション（仮説形成）
アブダクションは、結論から前提を推論する推論方法です。必ずしも真実であるとは限りませんが、仮説を立てる上で重要な役割を果たします。
後件肯定: Q, P→Q ⊢ P (Qが真であり、PならばQが真であるならば、Pは真である)（これは誤謬です。Pが真でなくとも、Qが真である可能性はあります）

推論規則に関する補足

推論規則は、形式的なシステムにおいて、論理的な推論を正確に行うための基盤を提供します。これらの規則を理解し、適切に適用することで、論理的な思考力を高めることができます。

関連事項

シークエント計算: 推論規則を体系的に扱うための形式的なシステムであり、カット除去定理などの重要な定理を含みます。
* ルイス・キャロルのパラドックス: 推論規則に関する興味深いパラドックスであり、論理的思考の限界を示唆しています。

これらの推論規則は、形式論理の基礎を成し、数学、計算機科学、哲学など、さまざまな分野で応用されています。

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