完備ブール代数

完備ブール代数とは、数学におけるブール代数の特別なクラスであり、その全ての部分集合が必ず上限（最小の上界）を持つという重要な性質を備えています。ブール代数は集合演算（和集合、共通部分、補集合）や論理演算（AND、OR、NOT）の構造を抽象化したものですが、完備性という条件を加えることで、より豊かな構造を持つようになります。

この完備ブール代数は、現代数学、特に集合論において重要な役割を果たします。例えば、強制法と呼ばれる集合論の手法において、特定の性質を持つ新しい集合論的宇宙を構成するために、ブール値モデルという概念が用いられますが、その基盤となるのが完備ブール代数です。

より一般的には、基数 κ に対して「κ-完備ブール代数」という概念も定義されます。これは、濃度が κ 未満であるような任意の集合が上限を持つブール代数を指します。完備ブール代数は、この定義において κ がブール代数の濃度である場合、または任意の基数である場合に相当します。

完備化の概念

興味深いことに、どのようなブール代数であっても、それを「完備化」することができます。ブール代数 A の完備化とは、A を部分代数として含み、かつ完備であるようなブール代数 B のことで、しかも B の任意の元が A のある部分集合の上限として表されるという性質を持ちます。このような完備化は、同型を除けば本質的に一意であることが知られており、半順序集合としての A のデデキント–マクニール完備化と見なすことができます。

完備化を構成する方法はいくつか存在します。例えば、ブール代数 A の素イデアル全体の空間であるストーン空間を考え、その上の正則開集合全体がなすブール代数が A の完備化となります。あるいは、A の「正則な切断」全体から完備化を構成することも可能です。

完備ブール代数の例

完備ブール代数には様々な例があります。

有限集合上のブール代数、すなわち要素が有限個であるブール代数は常に完備です。
任意の集合の冪集合（全ての部分集合を集めた集合）が構成する集合代数は、完備ブール代数となります。
位相空間における正則開集合全体の集合は、完備ブール代数となります。これは特に重要で、強制法の議論において、強制半順序に関連付けられるブール値モデルの構成に用いられます。
σ-有限測度空間において、可測集合を零集合で割ったブール代数も完備ブール代数です。特に、単位区間上のルベーグ可測集合で構成されるものは「ランダム代数」と呼ばれます。
可算な開基を持つ位相空間のベール集合を痩集合で割ったブール代数も完備です。実数空間上の場合は「カントール代数」と呼ばれます。

完備でないブール代数の例

完備でないブール代数も多く存在します。

無限集合の部分集合のうち、有限集合またはその補集合であるものの全体はブール代数ですが、これは完備ではありません。
測度空間の可測集合全体は、可算個の合併や共通部分について閉じていますが（つまり ℵ₁-完備ですが）、通常は完備ではありません。
自然数全体の集合 ω の冪集合 P(ω) を、有限部分集合全体がなすイデアル Fin で割ったブール代数 P(ω)/Fin も完備ではありません。この代数の元は、自然数の部分集合で、差集合が有限であるという同値関係で定義される同値類です。例えば、互いに素な無限集合の可算列 a₀, a₁, ... を考え、それぞれに対応する P(ω)/Fin の元を A₀, A₁, ... とします。この無限列 {Aᵢ} に P(ω)/Fin 内での上限が存在しないことが示せます。なぜなら、任意の上界 X が与えられたとき、その代表元から各 aᵢ の元を一つずつ取り除いた集合に対応する元は、X よりも真に小さく、かつ {Aᵢ} の上界となるからです。

完備ブール代数の性質

完備ブール代数はその定義から、上限が存在するのと同様に、全ての部分集合に対して下限（最大の下界）も必ず存在します。

また、完備ブール代数が両方の無限分配法則（無限和の有限積への分配やその逆）を満たすことと、それが何らかの集合の冪集合がなす代数と同型であることは同値であることが知られています。

無限ド・モルガンの法則も完備ブール代数においては成り立ちます。

ブール代数が完備であることは、それに対応する素イデアルのストーン空間がextremally disconnectedであることと同値です。

シコルスキの拡張定理によれば、ブール代数 A が別のブール代数 B の部分代数であるとき、A から任意の完備ブール代数 C へのブール準同型写像は、B から C へのブール準同型写像へと必ず拡張できます。ただし、この拡張された準同型が完備ブール代数としての準同型（つまり上限を保つ写像）であるとは限りません。

完備ブール代数の概念は、様々な数学的構造を理解し、新しい対象を構成するための強力なツールとなっています。

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