順序集合

順序集合入門

順序集合とは、集合の要素間に順序関係が定義された集合のことです。これは、数の大小関係のような直感的な順序を一般化した概念で、数学の様々な分野で重要な役割を果たします。本稿では、順序集合の基礎概念から、位相構造との関連性までを解説します。

順序関係の定義

まず、集合 P 上の二項関係 ≤ を考えます。この ≤ が順序関係となるための条件を定義します。

反射律: 任意の a ∈ P に対して、a ≤ a が成り立つ。
推移律: 任意の a, b, c ∈ P に対して、a ≤ b かつ b ≤ c ならば a ≤ c が成り立つ。
反対称律: 任意の a, b ∈ P に対して、a ≤ b かつ b ≤ a ならば a = b が成り立つ。
全順序律: 任意の a, b ∈ P に対して、a ≤ b または b ≤ a が成り立つ。

これらの条件を満たす ≤ を順序関係と呼びます。全順序律を満たさない場合、要素間は比較不能となります。

順序集合の種類

順序関係の条件を満たす度合いによって、以下の順序集合が定義されます。

前順序集合: 反射律と推移律を満たす。
半順序集合: 反射律、推移律、反対称律を満たす。（Partially Ordered Set, poset）
全順序集合: 反射律、推移律、反対称律、全順序律を満たす。（Totally Ordered Set, toset）

多くの場合、「順序集合」といえば半順序集合を指しますが、文脈によっては前順序集合や全順序集合を指すこともあります。

順序集合の例

実数全体の集合: 通常の大小関係で全順序集合となる。
自然数全体の集合: 整除関係で半順序集合となる。(n|m ⇔ n が m を割り切る)
集合の冪集合: 包含関係で半順序集合となる。

これらの例は、順序集合の多様性を示しています。

ハッセ図

有限半順序集合は、ハッセ図と呼ばれるグラフで視覚的に表現できます。ハッセ図では、要素を頂点とし、a < b かつ a と b の間に他の要素が存在しない場合に、a から b への辺を結ぶことで順序関係を表します。ハッセ図を用いると、半順序集合の構造を理解しやすくなります。

順序集合におけるその他の概念

順序集合では、上界、下界、上限、下限、最大元、最小元、極大元、極小元などの概念が定義されます。これらは、部分[[集合]]の要素間の関係を記述する上で重要な役割を果たします。

順序を保つ写像

順序集合間の写像には、順序を保つ写像（順序を保存する写像、同調写像）、順序を逆にする写像、順序を反映する写像、順序埋め込み、順序同型写像などがあります。これらの写像は、順序集合の性質を調べる上で重要です。

順序構造と位相構造

順序集合には、順序位相、上極限位相、下極限位相、スコット位相など、様々な位相構造を導入できます。これらの位相構造は、順序集合の解析において重要な役割を果たします。特に、スコット位相は、計算機科学における領域理論などで活用されています。アレクサンドロフ空間は前順序集合と1対1に対応します。

直積集合上の順序

複数の順序集合の直積集合上には、辞書式順序、積順序など、複数の順序関係を定義できます。

圏としての順序集合

半順序集合は、圏論の視点からも捉えられます。半順序集合は、射の集合が高々1つの元からなる圏とみなすことができ、圏論的な手法を用いて順序集合を解析できます。

まとめ

本稿では、順序集合の基礎概念から、位相構造や圏論との関連性までを概観しました。順序集合は、数学の様々な分野で基礎的な概念として用いられており、その理解は数学の更なる学習に不可欠です。より高度なトピックについては、専門書を参照してください。

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