完全系列
ホモロジー代数をはじめとする抽象代数の分野において、完全系列（かんぜんけいれつ、または完全列）は非常に基本的な役割を担う概念です。
この概念は、特定の構造を持つ数学的対象（例えば、ある環上の加群や群など）が、それらの間の準同型写像（射）によって連なる列、すなわち系列をなしているときに定義されます。
具体的には、次のような対象 $X_i$ と射 $f_i: X_i \to X_{i+1}$ からなる系列を考えます。
$$
\cdots \to X_{n-1} \xrightarrow{f_{n-1}} X_n \xrightarrow{f_n} X_{n+1} \to \cdots
$$
この系列が$X_n$ において完全（exact at $X_n$）であるとは、射 $f_{n-1}$ の像（image, Im $f_{n-1}$）と、それに続く射 $f_n$ の核（kernel, Ker $f_n$）が完全に一致すること、すなわち $\text{Im}\, f_{n-1} = \text{Ker}\, f_n$ が成り立つことを言います。
そして、この系列が完全系列であるとは、系列に含まれる全ての対象 $X_n$ においてこの完全性が満たされていることを指します。
完全性の定義から直接導かれる重要な性質として、もし系列が $X_n$ において完全ならば、二つの連続する射の合成 $f_n \circ f_{n-1}$ はゼロ写像となります。これは、Im $f_{n-1} = \text{Ker}\, f_n$ であることから、 $X_{n-1}$ の任意の元 $x$ に対して $f_{n-1}(x) \in \text{Im}\, f_{n-1} = \text{Ker}\, f_n$ となり、$f_n(f_{n-1}(x))$ は Ker $f_n$ の定義により $X_{n+1}$ の零元となるためです。ただし、この逆は一般には成り立ちません。
系列の端に零対象（例えば加群のゼロ加群、群の単位元のみからなる群など）が現れる場合、完全性の定義は射の性質と密接に関わってきます。例えば、
系列 $0 \to M' \xrightarrow{f} M$ が完全であることは、射 $f$ が単射（injective）であることと同値です。これは、Im $0\to M'$ が零元のみであり、Ker $f$ が零元のみであること、すなわち $f$ の核が自明であることと一致するためです。
系列 $M \xrightarrow{g} M'' \to 0$ が完全であることは、射 $g$ が全射（surjective）であることと同値です。これは、Ker $M''\to 0$ が $M''$ 全体であり、Im $g$ が $M''$ 全体であることと一致するためです。
特に重要なのは、5つの項からなる系列 $0 \to M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M'' \to 0$ です。この系列が完全であるとき、以下の性質が成り立ちます。
$f$ は単射である。
$g$ は全射である。
$f$ の像 Im $f$ は $M$ の部分対象となり、それは Ker $g$ と等しい。
$g$ は商対象 $M / \text{Im}\, f$ から $M''$ への同型写像を誘導する。
このような形の完全系列は短完全列（short exact sequence）と呼ばれ、数学の様々な場面で基本的な構成要素となります。短完全列 $0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0$ において、対象 $A$ は $B$ の「部分対象」とみなすことができ、$C$ は $B$ の「商対象」である $B / \text{Im}\, f$（ここで $\text{Im}\, f$ は $A$ と同一視できる）と同一視できる、と解釈されることが多いです。
短完全列が「分裂する（split）」とは、射 $s: C \to B$ が存在して、$g \circ s$ が $C$ 上の恒等写像となることを言います。これは、ある意味で $B$ が $A$ と $C$ の直和（または半直積）のような構造を持つことを示唆します。
より長い、自然数で添え字付けられた完全系列は長完全列（long exact sequence）と呼ばれます。これらはしばしば、ある種の代数的構造（例えばホモロジー群やコホモロジー群）の間に現れます。例えば、チェイン複体の短完全列から、蛇の補題（あるいはジグザグ補題）という手法を用いることで、それらのホモロジー群の間に長完全列を構成することができます。
完全系列の概念は、代数的な対象とその構造の関係性を深く理解するための強力なツールであり、ホモロジー代数をはじめ、代数幾何学、代数的位相幾何学、表現論など、数学の多くの分野で不可欠な役割を果たしています。
この概念は、特定の構造を持つ数学的対象（例えば、ある環上の加群や群など）が、それらの間の準同型写像（射）によって連なる列、すなわち系列をなしているときに定義されます。
具体的には、次のような対象 $X_i$ と射 $f_i: X_i \to X_{i+1}$ からなる系列を考えます。
$$
\cdots \to X_{n-1} \xrightarrow{f_{n-1}} X_n \xrightarrow{f_n} X_{n+1} \to \cdots
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この系列が$X_n$ において完全（exact at $X_n$）であるとは、射 $f_{n-1}$ の像（image, Im $f_{n-1}$）と、それに続く射 $f_n$ の核（kernel, Ker $f_n$）が完全に一致すること、すなわち $\text{Im}\, f_{n-1} = \text{Ker}\, f_n$ が成り立つことを言います。
そして、この系列が完全系列であるとは、系列に含まれる全ての対象 $X_n$ においてこの完全性が満たされていることを指します。
完全性の定義から直接導かれる重要な性質として、もし系列が $X_n$ において完全ならば、二つの連続する射の合成 $f_n \circ f_{n-1}$ はゼロ写像となります。これは、Im $f_{n-1} = \text{Ker}\, f_n$ であることから、 $X_{n-1}$ の任意の元 $x$ に対して $f_{n-1}(x) \in \text{Im}\, f_{n-1} = \text{Ker}\, f_n$ となり、$f_n(f_{n-1}(x))$ は Ker $f_n$ の定義により $X_{n+1}$ の零元となるためです。ただし、この逆は一般には成り立ちません。
系列の端に零対象（例えば加群のゼロ加群、群の単位元のみからなる群など）が現れる場合、完全性の定義は射の性質と密接に関わってきます。例えば、
系列 $0 \to M' \xrightarrow{f} M$ が完全であることは、射 $f$ が単射（injective）であることと同値です。これは、Im $0\to M'$ が零元のみであり、Ker $f$ が零元のみであること、すなわち $f$ の核が自明であることと一致するためです。
系列 $M \xrightarrow{g} M'' \to 0$ が完全であることは、射 $g$ が全射（surjective）であることと同値です。これは、Ker $M''\to 0$ が $M''$ 全体であり、Im $g$ が $M''$ 全体であることと一致するためです。
特に重要なのは、5つの項からなる系列 $0 \to M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M'' \to 0$ です。この系列が完全であるとき、以下の性質が成り立ちます。
$f$ は単射である。
$g$ は全射である。
$f$ の像 Im $f$ は $M$ の部分対象となり、それは Ker $g$ と等しい。
$g$ は商対象 $M / \text{Im}\, f$ から $M''$ への同型写像を誘導する。
このような形の完全系列は短完全列（short exact sequence）と呼ばれ、数学の様々な場面で基本的な構成要素となります。短完全列 $0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0$ において、対象 $A$ は $B$ の「部分対象」とみなすことができ、$C$ は $B$ の「商対象」である $B / \text{Im}\, f$（ここで $\text{Im}\, f$ は $A$ と同一視できる）と同一視できる、と解釈されることが多いです。
短完全列が「分裂する（split）」とは、射 $s: C \to B$ が存在して、$g \circ s$ が $C$ 上の恒等写像となることを言います。これは、ある意味で $B$ が $A$ と $C$ の直和（または半直積）のような構造を持つことを示唆します。
より長い、自然数で添え字付けられた完全系列は長完全列（long exact sequence）と呼ばれます。これらはしばしば、ある種の代数的構造（例えばホモロジー群やコホモロジー群）の間に現れます。例えば、チェイン複体の短完全列から、蛇の補題（あるいはジグザグ補題）という手法を用いることで、それらのホモロジー群の間に長完全列を構成することができます。
完全系列の概念は、代数的な対象とその構造の関係性を深く理解するための強力なツールであり、ホモロジー代数をはじめ、代数幾何学、代数的位相幾何学、表現論など、数学の多くの分野で不可欠な役割を果たしています。
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