環上の加群

環上の加群とは

環上の加群（module）とは、抽象代数学においてベクトル空間を拡張した概念です。ベクトル空間ではスカラーが体の元で構成されていますが、加群ではそれに代わり、より一般的な環の元が使われます。このため、加群は加法的なアーベル群であり、環の元との間で定義された乗法が結合律や分配律を満たす必要があります。

アーベル群とイデアル

任意のアーベル群は、有理整数環上の加群と見なすことができます。このように、加群の概念はアーベル群の一般化であると言えます。また、環におけるイデアルも環上の加群として考えることができ、そのため加群はイデアルの一般化とも言えます。これにより、加群はベクトル空間、アーベル群、イデアルなど、さまざまな数学的構造を統一的に扱うことが可能となります。

加群の重要性

加群は群の表現論と深く結びついており、可換環論やホモロジー代数における中心的な概念ともなっています。さらに、代数幾何学や代数的位相幾何学においても重要な役割を果たします。

動機と一般化

ベクトル空間では、スカラーが体を成しますが、環上の加群では環がその役割を果たします。このため、この概念は重要な一般化とされています。また、符号環におけるイデアルや剰余環も環上の加群として扱うことができ、関連する議論は加群を通じて整理することができます。

硬い定義

環 R の左 R-加群とも呼ばれる加群は、アーベル群 (M, +) とスカラー乗法 R × M → M の組を指します。このスカラー乗法は以下の条件を満たさなければなりません。
1. 加法の分配律: r(x + y) = rx + ry
2. スカラーの加法: (r + s)x = rx + sx
3. スカラーの結合律: (rs)x = r(sx)
4. 単位元: 1_R x = x

この加群において、演算を省略して「左 R-加群 M」と呼んだり、係数環を明示する場合は RM のように表記します。また、環が可換であれば、左加群と右加群の概念は一致し、「R-加群」と呼ばれます。

例

例えば、体 K に対して K-加群は K-線型空間として、また有理整数環 Z に対しては Z-加群はアーベル群として考えられます。このように、加群の議論は多様な構造に対応していることがわかります。一般的に、任意の環 R に対して、R^n は成分ごとの演算によって R の左および右加群としても機能します。

加群の種類

加群には様々な特殊なタイプがあります。

• - 有限生成加群: 有限個の元によって生成される加群
• - 自由加群: 基底を持ち、原則としてベクトル空間のように振舞います。
• - 単純加群: {0} と自身しか部分加群を持たない加群です。

加群の種類はその性質を理解する上で非常に重要です。特に自由加群は、基底を持つため、抽象代数学における多くの理論と緊密に結びついています。

関連理論

環上の加群は、群の表現や非可換環論との関係においても重要です。全てのアーベル群は有理整数環上の忠実加群として理解されます。

総じて、環上の加群は数学の数多くの分野で重要な役割を果たし、特にアーベル群やベクトル空間と同様の役割を果たすことから、深い理解が必要とされます。

もう一度検索