定常波

定常波：止まって振動する波動

定常波とは、波長、周期、振幅、速度が等しく、進行方向が互いに逆の2つの波が重なり合うことで発生する波動です。一見、波形が空間を伝わらず、その場で振動しているように見えます。この現象は、定在波とも呼ばれます。

定常波の特徴

定常波には以下の特徴があります。

同じ位相・周期での振動: 定常波を構成する各点は、同じ位相と周期で振動します。そのため、全ての点が同時に変位が0になる瞬間と、変位が最大になる瞬間が存在します。
位置による振幅: 媒質の各点は、その位置に応じて異なる振幅で振動します。
節と腹: 振幅が0になる点を節（node）、振幅が最大になる点を腹（anti-node）と呼びます。節と腹は、重なり合う2つの波の波長（λ）を基準に、λ/2ごとに交互に現れます。腹での振幅は、元の波の2倍になります。
周期の一致: 各点の振動周期は、元の波の周期と同じです。

正弦定常波

波長、周期、振幅、速度が等しく、互いに逆向きに進む2つの正弦波を考えてみましょう。これらの正弦波は、以下の式で表現できます。

`y1(x,t) = A sin(ωt - kx + δ1)`

`y2(x,t) = A sin(ωt + kx + δ2)`

ここで、Aは振幅、ωは角周波数、vは伝播速度、δ1とδ2はそれぞれの初期位相、Tは周期、λは波長、kは波数、xは媒質上の位置、tは時刻を表します。

これらの2つの正弦波が重なり合うことで、正弦定常波が形成されます。正弦定常波は、以下の特徴を持ちます。

単振動: 各点は同じ位相・周期で単振動します。変位が0になる時刻tminと、変位が最大になる時刻tmaxが存在します。
位置による振幅: 媒質中の各点は、位置に応じた振幅Axで振動します。
節と腹: 節xminと腹xmaxは、λ/2ごとに現れます。隣り合う節と腹の間隔はλ/4です。
最大振幅: 腹における最大振幅Amaxは2Aです。
* 周期: 各点の単振動周期τは、Tとなります。

これらのtmin、tmax、xmin、xmax、Δx、Δx'、Ax、Amax、τは、それぞれ具体的な数式で表すことができます。（原文の数式参照）

定常波の発生

定常波は、通常、同一の波源から発生した2つの波が重なり合うことで形成されます。異なる波源から発生した波では、振幅の差や減衰によって定常波は発生しにくいからです。

反射波による定常波

波が進行方向に垂直な面で反射されると、入射波と逆向きの反射波が発生します。この入射波と反射波が重なり合って定常波が形成されます。反射壁を利用することで、様々な種類の波（球面波、円筒波など）でも定常波を生成できます。

閉曲線上での定常波

弦などの閉曲線上では、波源から逆向きに進む2つの波が発生し、閉曲線を半周後に重なり合います。閉曲線の長さLが波長λの整数倍（L = nλ）の場合、各位置での位相が一致し、安定した定常波が形成されます。この時の振動数νnを固有振動数と言います。

定常波による現象

共振・共鳴

進行方向に垂直な2つの壁面で波が反射を繰り返すことで、振幅が増幅された定常波が形成される現象を共振または共鳴と呼びます。特定の波長（固有振動数）の波のみが安定した定常波を形成します。楽器などの音響現象はこの原理に基づいています。共振では、端が節または腹となります。（固定端は節、自由端は腹）

両側固定端、両側自由端、片側固定端・自由端の場合、それぞれ固有振動数νnは異なる関係式で表されます。（原文の数式参照）

量子条件

ボーアの原子模型では、電子は原子軌道上で定常波として存在すると考えられています。ボーアの量子条件とド・ブロイ波の式を組み合わせることで、電子の物質波としての波長λeが、閉曲線上での定常波の条件を満たすことが示され、電子の安定した存在が説明されます。（原文の数式参照）

関連事項

反射、固有振動数、共振、共鳴、ボーアの原子模型、定在波比（SWR）、スタンディングウェーブ現象、縄跳び（MICリリース）

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