変位

変位：物体の位置変化

変位とは、物体の位置が変化したことを示す物理量です。日常生活から高度な物理学まで、幅広い分野で使用されています。この解説では、変位の基礎から連続体力学における応用まで、段階的に詳しく見ていきます。

変位の基礎

変位の対象は多岐に渡ります。古典力学では質点の位置変化、固体物理学では結晶中の原子の位置変化（原子変位）として扱われます。変位を表す記号としては、変位の大きさを表す`x`や`d`、位置の変化量を表す`Δr`などが用いられます。

多くの場合、変位はベクトル量として扱われ、「変位ベクトル」と呼ばれます。物体の位置を表すには、原点からの位置ベクトルを用いる方法もあります。基準点をどこに設定するかは変位の説明においても重要ですが、局所的な現象を記述する際には、基準位置からの変位を用いる方が簡潔になります。変位ベクトル`x`と位置ベクトル`r`、基準点の位置ベクトル`r₀`の関係は、以下の式で表されます。

math
\boldsymbol{x} = \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0

例：ばねの運動

ばねに繋がれた物体の運動では、ばねの自然長の位置を基準とした変位を用いると便利です。この場合、物体の位置エネルギー`U`は次式で表されます。

math
U = \frac{1}{2}kx^2


ここで`x`は自然長からの変位、`k`はばね定数です。重力は基準位置とエネルギーの基準点をずらすだけであり、ばねの方向や重力の有無に関わらず、この式は成り立ちます。ばねの運動においては、変位が本質的な要素であることが分かります。

連続体力学における変位

連続体力学では、変位は物質点の位置変化として定義されます。変位には、剛体変位と変形という2つの要素が含まれます。剛体変位は、物体の平行移動や回転で、形状や大きさは変化しません。変形とは、物質点間に相対変位が生じることで、形状や大きさが変化することを指します。

連続体の変位の記述において、変位前の状態を基準配置、変位後の状態を現在配置と呼びます。配置とは、物体の全ての物質点の位置の集合です。

変位ベクトルの記述

変位ベクトルは、基準配置と現在配置における物質点の位置関係を表すベクトルです。記述方法は大きく2種類あります。

1. 物質表示（ラグランジュ表示）: 基準配置における位置ベクトル`X`を用いて物理量を表す方法。
2. 空間表示（オイラー表示）: 現在配置における位置ベクトル`x`を用いて物理量を表す方法。

物質表示では変位ベクトル`u(X,t)`、空間表示では`U(x,t)`と表記され、それぞれ物質座標系、空間座標系における基底ベクトルを用いて表されます。連続体力学における変位場の記述は複雑で、物質表示、空間表示それぞれの式は、基底ベクトルの変換などを考慮した上で導出されます。数式は本文に記載されている通りです。

変位勾配テンソル

変位ベクトルを座標で偏微分することで得られるテンソルを変位勾配テンソルと呼びます。物質表示の変位ベクトル`u(X,t)`を物質座標`X`で偏微分したテンソルを物質変位勾配テンソル`∇ₓu`、空間表示の変位ベクトル`U(x,t)`を空間座標`x`で偏微分したテンソルを空間変位勾配テンソル`∇ₓU`と呼びます。それぞれのテンソルは変形勾配テンソル`F`と恒等テンソル`I`を用いて表現できます。数式は本文に記載の通りです。

変位勾配テンソルとひずみテンソルの関係

変位勾配テンソルは、ひずみと回転という2つの要素を含んでいます。ひずみテンソル`ε`は変位勾配テンソルの対称成分であり、形状の変化を表します。回転を表す反対称成分は回転テンソル`ω`と呼ばれます。ひずみと回転は変位勾配テンソルから次のように計算できます。

math
\epsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \\
\omega_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} - \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)

参考文献

本文中に記載されている参考文献は、連続体力学、弾塑性、レオロジーなどの分野における専門書です。これらの文献は、変位に関するより詳細な知識を得るために役立ちます。

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