対称双線型形式

対称双線型形式の概要

対称双線型形式とは、ベクトル空間の中で特定の双線型形式であり、対称性を持つことが特徴です。具体的には、これらの形式は、実ベクトル空間における標準内積を一般化したもので、内積の性質を持ちつつ、より広い応用範囲を提供します。対称双線型形式は、数学のさまざまな分野において重要な役割を果たしており、特に直交極性や二次曲面の研究において不可欠です。

定義と性質

ここでは、対称双線型形式の定義とその特性について考えます。まず、仮定として、$V$を体$K$上の有限次元ベクトル空間とします。双線型形式$b: V imes V o K$が対称であるとは、次の条件を満たすことを意味します：

1. $b(u + v, w) = b(u, w) + b(v, w)$
2. $b(u, v + w) = b(u, v) + b(u, w)$
3. $b( ext{λ}u, v) = ext{λ}b(u, v) = b(u, ext{λ}v)$

さらに、対称性は次の条件で保証されます：

4. $b(u, v) = b(v, u)$

これらの条件を全て満たすとき、$b$は対称双線型形式と呼ばれます。

具体例

平面$ ext{R}^2$における例を挙げて、対称双線型形式がどのように機能するのかを考察します。ベクトル$x = (x_1, x_2)$および$y = (y_1, y_2)$に対し、以下の式で定義される標準内積は対称双線型形式です。

$$b(x, y) = x_1y_1 + x_2y_2$$

他の例として、$b'(x, y) = x_1y_1 - x_2y_2$や、$b_0(x, y) = 0$も対称双線型形式です。

表現行列

有限次元ベクトル空間$V$の基底$E = egin{pmatrix} e_1, …, e_n ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } E = egin{pmatrix} e_1, …, e_n \ ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } E = egin{pmatrix} e_1, …, e_n \ ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } E= ext{ } E= ext{ } E= ext{ } E= ext{ } E= ext{ } E= ext{ } E= ext{ } E= ext{ } E= ext{ } E= ext{ } E= ext{ } E= ext{ } E= ext{ } E= ext{ } ext{ } E= ext{ } E= ext{ } E= ext{ }$記述に基づいてこのとき、$b$と密接に連結された行列$B=(b_{ij})$が形成されます。ここで、$b_{ij} = b(e_i, e_j)$という形式が成立します。この表現行列が対称である場合、双線型形式$b$も対称であると言えます。

二次形式

対称双線型形式$b$により定義される二次形式$q: V
ightarrow K$は、次のように表現されます。

$$q(v) = b(v, v)$$

この形式は、ベクトル$v$自身に対する対称双線型形式から生成され、重要な役割を果たします。

直交性と特異性

対称双線型形式が持つ特性の一つには、直交性が挙げられます。例えば、$V$内の2つのベクトル$v$と$w$が互いに直交するためには、$b(v, w) = 0$でなければなりません。また、直交ベクトル全体の集合$X^{ot}$もあり、これは部分空間となります。特に、$V^{ot}$は対称双線型形式$b$の根基と呼称されます。根基が非自明である場合、形式は特異（singular）と表記され、生じるベクトル空間の性質に影響します。

直交基底とシルベスターの慣性法則

最後に、基底が直交するという条件も検討します。基底が対称双線型形式$b$に関して直交するための必要条件は、表現行列$B$が対角行列であることです。シルベスターの慣性法則は、選択された直交基底に依存せず、表現行列の対角要素の数に関連します。また、実数体や複素数体における符号数から、直交基底が基準となります。

このように、対称双線型形式は、数学の様々な領域に重要な基盤を提供し、内積を通じた構造理解を豊かにする要素となっています。

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