巨大な素数の一覧

巨大な素数の一覧

『巨大な素数の一覧』は、著名な数学者クリス・カルドウェルが運営するウェブサイト「The PrimePages」にて提供されている、現在知られている中で最大素数のランキングを掲載したリストです。このリストは、2024年10月時点で「素数として確認されている最大の数」として2136279841−1が挙げられています。この数はその桁数として4102,4320桁を有し、2018年12月にGreat Internet Mersenne Prime Search（GIMPS）によって初めて公開されました。

古代ギリシャの数学者ユークリッドは素数が無限に存在することを証明しました。それ以来、多くの数学者やアマチュアの愛好者たちが、さらに大きな素数を求めて探検を重ねてきました。これまでに見つかった巨大素数の多くはメルセンヌ数に分類されることが多く、2018年12月の時点では上位8位に入る素数はすべてメルセンヌ数でした。そして、9位に初めて非メルセンヌの素数が現れています。

メルセンヌ数に対しての素数判定を行うためには、リュカ-レーマー・テストが用いられます。このテストは、高速フーリエ変換を活用した効率的な実装を用いることができ、そのためメルセンヌ数に対しての判定速度が高いという特長があります。

最大記録

2018年12月に確認された最大の素数は282,589,933−1であり、その桁数は24,862,048桁にも達します。この数は2018年にGIMPSによって発見され、具体的な数を示すと以下のようになります：

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148894445742041325547806458472397916603026273992795324185271289425213239361064475310309971132180337174752834401423587560…
（24,861,808桁が省略されています）
…062107557947958297531595208807192693676521782184472526640076912114355308311969487633766457823695074037951210325217902591
```

この表示は先頭から120桁および末尾から120桁の部分を示しています。

懸賞金

また、GIMPSでは彼らの無償ソフトウェアを使って計算を行う参加者に対して、1億桁未満のメルセンヌ素数を発見するごとに3,000ドルの懸賞金を支給するといった制度も設けられています。さらに、電子フロンティア財団（EFF）も、新しい素数記録に対して複数の賞金を提示しており、1億桁を超える素数を最初に発見した者には150,000ドルの賞金が授与される予定です。

過去の記録として、1999年に発見された100万桁を超える素数に対しては50,000ドル、2008年には1000万桁を超える素数に対して100,000ドルの懸賞金が支払われ、さらにEFFからも特別賞が贈られるなどの歴史があります。1億桁および10億桁を超える素数に関する懸賞金はまだ発表されていませんが、これらの発見が新たな記録を生むことが期待されています。

歴史

以下の表は、大きな素数が時系列でどのように発見されてきたかを示しています。具体的には、メルセンヌ数の形式であるMn = 2^n − 1が扱われています。この中でも、M19の524,287は最長の記録として144年間にわたって「最大の素数」の座を維持したことで知られています。

また、近年の素数探索プロジェクトにはPrimeGridやen:Seventeen_or_Bustなどが存在し、それぞれ異なる数に対する素数を探索しています。

このように、巨大素数の探索は古典的な数学的問題であると同時に、現代のコンピュータ技術の進展によってより深化し続けています。今後の結果がどのように進展するかが楽しみです。

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