差商

差商について

数学における差商（さしょう、英: divided differences）は、数値解析分野で重要な役割を果たす概念です。この手法は、与えられた点に対して再帰的に差分商を計算することで導出されます。差商は特に、他の数値計算手法と組み合わせて用いることで、さまざまな問題に対する解法を提供します。

歴史的背景

差商の概念は、主に対数表や三角関数表の値を計算するために利用されてきました。これらの計算は、チャールズ・バベッジが設計した初期の機械式計算機、階差機関に組み込まれており、その実用性が示されています。差商を用いることで、計算の精度を高めることができ、補間多項式の算出にも役立ってきました。

差商の定義

差商は、\(n + 1\)個の節点 \((x_0, y_0), \, (x_1, y_1), \, …, (x_n, y_n)\) に対して定義されます。前進差商と後退差商という二つの形式があり、以下のように計算されます。

前進差商の定義

前進差商は次のように定義します:

• - \[[y_{

u}] = y_{
u} \quad (
u \in \{0, \ldots, n\})\]

• - \[[y_{

u}, \ldots, y_{
u + j}] = \frac{[y_{
u + 1}, \ldots, y_{
u + j}] - [y_{
u}, \ldots, y_{
u + j - 1}]}{x_{
u + j} - x_{
u}} (
u \in \{0, \ldots, n - j\}, \, j \in \{1, \ldots, n\})\]

後退差商の定義

後退差商も同様に定義されます:

• - \[[y_{

u}] = y_{
u} \quad (
u \in \{0, \ldots, n\})\]

• - \[[y_{

u}, \ldots, y_{
u - j}] = \frac{[y_{
u}, \ldots, y_{
u - j + 1}] - [y_{
u - 1}, \ldots, y_{
u - j}]}{x_{
u} - x_{
u - j}} (
u \in \{j, \ldots, n\}, \, j \in \{1, \ldots, n\})\]

等間隔の場合の計算

節点が等間隔に配置されている場合、計算はさらに簡略化されます。この場合、前進差分を用いて差商を計算でき、全体の構造がより明確となります。例えば、点 \(x_
u\) が \(x_0 +
u h\) （\(h > 0\)の任意の正数）と定義された時、前進差分 \(\Delta^{(k)} y_i\)は次のように与えられます:

• - \(\Delta^{(0)} y_i = y_i\)
• - \(\Delta^{(k)} y_i = \Delta^{(k - 1)} y_{i + 1} - \Delta^{(k - 1)} y_i (k \geq 1)\)

ここから、差商は前進差商と密接に関係しています。

ニュートンの三角形と記法

ニュートンの三角形を用いると、隣り合う差商の関係から新たな差商を簡単に生成できます。これにより、差商を三角形状に配置することで視覚的にその関係が理解しやすくなります。

また、差商の記法にはいくつかの異なる形式があります。たとえば、\(f[x_
u]\)を用いる形式や、\([x_0, x_1, \ldots, x_n]f\)のような表現方法があります。これにより、与えられたデータ点に基づいてさまざまな計算が可能となります。

性質と応用

差商の主な性質には線型性、ライプニッツの法則、対称性が含まれ、これらは数値解析や補間法を用いる際に重要な役割を果たします。また、数値的な計算においても、差商は多項式関数の取り扱いに広く利用されています。

特に、差商は、関数の平均値定理やリーマン積分に関連した計算においても使用され、これにより関数の近似が可能になります。さらに、バリエーションがあり、多項式の補間や数値解析におけるフィルターとしても役立つため、現代の計算方法において欠かせない道具の一つとなっています。

まとめ

差商は、数値計算や補間法における強力なツールであり、その定義や性質を理解することは、数学や工学、科学における多くの問題解決に寄与します。今後も、差商の応用とその更なる発展が期待されています。

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