平方三角数

平方三角数について

平方三角数（へいほうさんかくすう、英: square triangular number）とは、自然数の中で平方数でありながら三角数でもある数を指します。具体的には、例えば36は6番目の平方数であり、また8番目の三角数でもあるため、平方三角数の一例となります。このような平方三角数は無限に存在し、最も小さな平方三角数は1です。

平方三角数の列

平方三角数は小さい順に並べることができ、以下のような数が挙げられています：

1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, …（オンライン整数列大辞典の数列 A1110）。

k 番目の平方三角数

平方三角数の k 番目の数を表す公式が存在します。それは次のように表されます：

$$
N_k = \frac{1}{32}\left(\left(1 + \sqrt{2}\right)^{2k} - \left(1 - \sqrt{2}\right)^{2k}\right)^{2}。
$$

この公式は1778年に数学者オイラーによって発見されました。

公式の導出

ある自然数 N が n 番目の三角数かつ m 番目の平方数であるとする時、次の関係式が成り立ちます：

$$
\frac{1}{2}n(n + 1) = m^{2}。
$$

これを8倍して平方完成を行うことで、$(2n + 1)^{2} = 8m^{2} + 1$という式に変形できます。ここで、$x = 2n + 1$、$y = 2m$と置くことで、ペル方程式$x^{2} - 2y^{2} = 1$が得られます。この方程式の一般解は次のように示されます：

$$
x_{k} \pm y_{k}\sqrt{2} = \left(1 \pm \sqrt{2}\right)^{2k}。
$$

従って、$x_{k}$と$y_{k}$は以下のように表されます：

• - $$x_{k} = \frac{(1 + \sqrt{2})^{2k} + (1 - \sqrt{2})^{2k}}{2}$$
• - $$y_{k} = \frac{(1 + \sqrt{2})^{2k} - (1 - \sqrt{2})^{2k}}{2\sqrt{2}}$$

さらに、k 番目の平方三角数は上記の式から導きされます。

その他の性質

平方三角数 $N_k$ は、以下のような漸化式によっても計算することができます：

$$
N_{0}=0, N_{1}=1, N_{k+2}=34N_{k+1} - N_{k} + 2。
$$

また、その母関数は次のように表されます：

$$\frac{x(x + 1)}{(1 - x)(1 - 34x + x^{2})} = x + 36x^{2} + 1225x^{3} + \cdots $$

これらの性質から、平方三角数についての理解が深まるでしょう。これまでの研究においても、平方三角数はさまざまな数学の問題の中で重要な役割を果たしてきました。

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