平方剰余の相互法則

平方剰余と相互法則

平方剰余（へいほうじょうよ）とは、ある自然数を法にした場合の平方数を指します。特に、平方剰余の相互法則は、整数が別の整数の平方剰余であるか否かを判断するための重要な法則です。

定義

整数 a と素数 p が相互に素である条件の下、次の合同式が存在する場合、a は p を法として平方剰余であると言います。

$$
x^2 ≡ a \, (mod \, p)
$$

もし解がなければ、a は平方非剰余となります。したがって、平方剰余記号は数の特性を明示化した有用な表現です。

平方剰余記号

奇素数 p に対して、記号は次のように定義されます。

$$
\\left( \frac{a}{p} \right) =\begin{cases} 1 & \text{if } \exists x \in \mathbb{Z} [ x^2 \equiv a (mod \; p)] \\-1 & \text{if } \forall x \in \mathbb{Z} [ x^2
ot\equiv a (mod \; p)] \end{cases}
$$

また、p で割り切れる a に対しては 0 と定めます。これにより、平方剰余記号またはルジャンドル記号が形成されます。

相互法則

平方剰余の相互法則は、a が奇素数 p を法として平方剰余か否かを判別します。相異なる奇素数 p と q に対して、次の関係が成り立ちます。

$$
\\left( \frac{p}{q} \right)\\left( \frac{q}{p} \right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}
$$

さらに補充法則として、一つ目は以下のように示されます。

$$
\left( \frac{-1}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}}
$$

二つ目の補充法則は次のようになります。

$$
\left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{\frac{p^2 - 1}{8}}
$$

また、p と互いに素な整数 a, b に対し、次の関係も成り立つことが知られています。

$$
\left( \frac{ab}{p} \right) = \left( \frac{a}{p} \right)\left( \frac{b}{p} \right)
$$

この法則の歴史

この相互法則は、レオンハルト・オイラーによって予想され、カール・フリードリッヒ・ガウスが証明しました。ガウスはこの法則に対して生涯で多くの異なる証明を行っています。特に、三次や四次の相互法則は、他の数学者によって独立して証明されるなど、研究は続いています。

応用と定理

平方剰余の相互法則は、例えばフェルマーの二平方和の定理など、数論の他の多くの結果とも関連しています。具体的には、4k + 1 型の素数は2つの平方数の和で表現できるとされています。

平方剰余の計算

平方剰余の特性を理解するためには、具体的な計算が有用です。特に、p = 3 の場合や p = 5 の場合などで、平方剰余記号を用いた計算が役立ちます。

$p = 3$ の場合:

$$
\left( \frac{a}{3} \right) = \begin{cases} 1 & \text{if } a \equiv 1 \, (mod \, 3) \\-1 & \text{if } a \equiv 2 \, (mod \, 3) \\0 & \text{if } a \equiv 0 \, (mod \, 3) \end{cases}
$$

以上の知見を元に、平方剰余と相互法則を通じた数論の探求は、数学の理解を深める助けとなります。特に、数論における多くの理論や定理に与える影響から重要な役割を担っています。

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