平衡素数

平衡素数について

平衡素数とは、特定の条件を満たす素数のことを指します。具体的には、その素数が前後の素数の算術平均として表される場合に平衡素数と呼ばれます。より厳密には、n 番目の素数を p_n とした場合、以下の関係が成り立つことが条件です。

\[ p_n = \frac{p_{n-1} + p_{n+1}}{2} \]

この条件を満たす素数は、平衡素数と見なされます。

例示

最初の平衡素数として、いくつかの素数を挙げると、以下のような素数があります：5、53、157、173、211、257、263、373、563、593、607、653、733、947、977、1103などです。これらの数値は、オンライン整数列大辞典において数列 A006562 として確認できます。

例えば、53を考えてみましょう。これは15番目の素数であり、その前の15番目の素数47と、その後の17番目の素数59を足すと106になります。この106を2で割った結果は53であり、したがって53は平衡素数です。

平衡素数の無限性

平衡素数は無限に存在すると考えられています。この予想は、数の性質や規則性から導き出されたものです。また、特定の数列において素数を並べると、平衡素数が繰り返し現れることからその信憑性が増しています。

CPAP-3と平衡素数

さらに興味深いことに、等差数列における3つの連続した素数は、CPAP-3（連続素数の3項共通的平均数）という用語で呼ばれることがあります。平衡素数は、定義の観点からCPAP-3の2番目の素数とされることが多いです。2014年時点では、CPAP-3に関連する最大の素数は10546桁にも及び、David Broadhurstによって発見されました。

\[ p_n = 1213266377 \times 2^{35000} + 2429 \]
\[ p_{n-1} = p_n - 2430, \quad p_{n+1} = p_n + 2430 \]

位数に基づく平衡素数

平衡素数の概念は、位数によってさらに細分化されることがあります。例えば、位数nの平衡素数は、その素数に近い上下でn個ずつの素数の算術平均に等しいものと定義されます。代数的に表すと、k番目の素数が偏衡素数であるための条件は以下のとおりです。

\[ p_k = \frac{\sum_{i=1}^{n}(p_{k-i} + p_{k+i})}{2n} \]

この定義に基づくと、位数1に該当する平衡素数は既に紹介されたものです。さらに、他の位数の平衡素数もオンライン整数列大辞典に記載されているため、興味のある方はチェックすることをおすすめします。

結論

平衡素数は数学の中で特に注目される興味深い側面であり、その性質の理解は素数全般の研究において非常に重要です。数学の世界において、これらの素数が持つ定義と特性は新たな洞察をもたらすものであり、今後の研究においても知識の深化が期待されています。

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