広義積分

広義積分：無限の彼方への積分

解析学において、広義積分は、通常の定積分では扱えない、積分区間が無限区間である場合や、被積分関数が積分区間内で無限大となる場合の積分を扱うための概念です。通常の定積分は、積分区間が有限で、被積分関数が区間内で有限値をとる場合に定義されますが、広義積分は、これらの条件が満たされない場合に、極限を用いて積分の値を定義します。

広義積分の定義

広義積分は、積分区間の端点を無限大に近づけたり、被積分関数が無限大になる点に近づけることで定義されます。具体的には、以下の3つのパターンが考えられます。

1. 積分区間の一方が無限大の場合:
例として、`∫a^∞ f(x)dx`という積分を考えます。この広義積分は、次のように極限で定義されます。


∫a^∞ f(x)dx = lim (t→∞) ∫a^t f(x)dx


ここで、右辺の極限が存在する場合に限り、広義積分は収束し、その値が積分の値となります。

2. 積分区間の一方が被積分関数の特異点の場合:
例として、`∫a^b f(x)dx`という積分を考え、f(x)がx=bで無限大に発散する場合を考えます。この広義積分は、次のように定義されます。


∫a^b f(x)dx = lim (t→b-) ∫a^t f(x)dx


ここで、t→b-は、tがbに左から近づくことを意味します。同様に、f(x)がx=aで無限大に発散する場合も、極限を用いて定義されます。

3. 積分区間の両方が無限大、または特異点の場合:
この場合は、積分区間を有限区間で分割し、それぞれの区間で広義積分を計算し、それらの和として定義されます。例えば、`∫-∞^∞ f(x)dx`は、


∫-∞^∞ f(x)dx = lim (s→-∞) ∫s^a f(x)dx + lim (t→∞) ∫a^t f(x)dx


と定義されます。ここで、aは任意の有限の実数です。

広義積分の収束と発散

広義積分は、必ずしも収束するとは限りません。極限が存在しない場合、広義積分は発散すると言われ、値を持たないことになります。広義積分の収束性を判定する方法は様々ですが、比較判定法や絶対収束性の判定などが用いられます。

リーマン積分とルベーグ積分との関係

広義積分の定義は、リーマン積分に基づいて説明されましたが、ルベーグ積分を用いて定義することも可能です。ルベーグ積分は、リーマン積分よりも広いクラスの関数に対して積分を定義できるため、広義積分を扱う際に便利な場合があります。特に、被積分関数が積分区間内で無限大となる場合でも、ルベーグ積分を用いれば、積分値が定義できる場合があります。

コーシーの主値

被積分関数が積分区間内で無限大となる場合、広義積分が収束しない場合でも、コーシーの主値という概念を用いて積分の値を定義することがあります。コーシーの主値は、積分区間を特異点を中心に対称的に分割し、両側の積分の和の極限をとることで定義されます。

例題

いくつかの例題を通して、広義積分の計算方法と、その収束性について見ていきましょう。

例1: ∫0^∞ 1/(1+x²) dx = π/2
例2: ∫1^∞ 1/x dx = 発散
* 例3: ∫0^1 1/√x dx = 2

これらの例題を通して、広義積分の計算には、極限の計算と、被積分関数の原始関数の知識が必要であることがわかります。また、積分区間や被積分関数の性質によって、広義積分の収束性やその値が大きく変わることもわかります。

まとめ

広義積分は、通常の定積分では扱えない積分を扱うための重要な概念です。その定義や計算方法、収束性の判定方法などを理解することで、より高度な解析学の問題に取り組むことができます。リーマン積分やルベーグ積分との関係性、コーシーの主値といった高度な概念も理解することで、より深い理解が得られます。

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