弧 (射影幾何学)

有限射影幾何学における弧の概要

有限射影幾何学の世界において、弧とは d 次元の有限射影空間内で、d+1 点のどれもが同一の超平面に存在しないような点の集合を指します。この独自の構造は、数学的な性質や応用において重要な役割を果たします。ここで、d+1 の数をこれ以上小さくすることはできません。任意の d 点を選択する場合、d−1 の点が同じ d−2 次元の部分空間に属さない限り、これらの点を通る d−1 次元の超平面は一意に決定されるという特性があります。

有限射影平面における弧

特に、有限射影平面という特定のケースでは、弧は任意の3点が同一直線上にないように配置された点の集合を意味します。こうした特性を持つ k 個の点を k-弧と呼びます（Dembowski 1955年、セクション3.2）。

k-弧においては、特定の点を通る直線のタイプに応じて、以下のように呼称されます：

• - 割線 (secant): ちょうど2点を通る直線。
• - 接線 (tangent): ちょうど1点を通る直線。
• - 外線 (exterior line): どの点も通らない直線。

有限射影平面の位数 n において、弧に含まれる点の数は n+2 以下であることがわかります。これは、弧に属するいずれかの点 P から、P を通る n+1 本の直線を考えると、弧に含まれる点が P 以外に存在する場合でも、1点のみであるためです。この性質から、k-弧に関連する割線、接線、外線の数はそれぞれ次のように求めることができます:

• - 割線の数:

$\binom{k}{2}$

• - 接線の数:

$k(n+2-k)$

• - 外線の数:

$\binom{n}{2} + \binom{n+2-k}{2}$

(n+2)-弧の存在とその条件

(n + 2)-弧が存在する場合、n は偶数でなければなりません。任意の点 P を考慮すると、P を通る n + 1 本の直線に沿って、C とは異なる点 Q を用意し、その Q を通る直線 l1, l2, …, lm を考察すると、弧 C と交点が複数の直線にわたってちょうど2点で交わることが明らかになります。これにより、C 上の各点と Q を通る直線は一意に決まります。したがって、n + 2 = 2m となり、n は偶数である必要があるのです。

オーバルとハイパーオーバルの定義

ここで、位数 n の有限射影平面において、(n + 1)-弧はオーバル、(n + 2)-弧はハイパーオーバルと呼ばれます。オーバルに含まれる各点は、必ず1つの接線を持ち、特に n が偶数のとき、これらの接線は共通の交点を持つことが特徴です。この共通の交点を加えることによって、ハイパーオーバルを形成することが可能です。

射影平面上の2次曲線とオーバルの関係

位数 n（n が素数の冪である）の有限体上の射影平面において形成される2次曲線はオーバルとなります。興味深いことに、奇数の位数を持つ有限体上の射影平面におけるオーバルは、特定の規則に従って形成され、これにより有限射影幾何学の性質が明らかになります（セグレの定理、Segre 1955年）。

このように、有限射影幾何学における弧の概念は、数学的な構造と美しさを示す重要な要素であり、さらなる探求の対象となっています。

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