射影平面

射影平面：無限遠点と幾何学の拡張

射影平面は、ユークリッド幾何学における平面概念を拡張した幾何学的な構造です。通常の平面では平行線は交わりませんが、射影平面では「無限遠点」という特別な点を導入することで、全ての直線がただ一点で交わるように定義されます。この無限遠点は、平行線の交点と見なすことができます。

線形代数的な定義

射影平面は線形代数的手法を用いて定義することもできます。この定義では、射影平面は三次元空間内の原点を通る直線全体の集合として表されます。具体的には、体K（例えば実数体Rや複素数体C）を考え、Kの元の三つ組(x0, x1, x2)全体の集合K³から零ベクトルを除いた集合を、同値関係x~kx (k∈K, k≠0)で割った集合として定義されます。この同値関係は、原点を通る直線上の点を同一視することに相当します。射影平面上の直線は、三次元空間内の原点を通る平面に対応します。

この線形代数的な定義から、実射影平面RP²や複素射影平面CP²といった具体的な射影平面が構成できます。RP²は向きを持たない実二次元多様体、CP²は向きを持つ実四次元多様体として位相幾何学において重要な役割を果たします。さらに、四元数や八元数（ただし、八元数は斜体ではないため厳密な構成は難しい）を用いた射影平面も存在します。

有限体上の射影平面も重要な対象です。位数pnの有限体（pは素数、nは自然数）を用いることで、p²ⁿ+pⁿ+1個の点を持つ有限射影平面が構成できます。最も簡単な例はファノ平面で、7個の点と7本の直線からなる射影平面です。

通常平面との関係

通常の平面K²は、(x1, x2)↦(1, x1, x2)という写像によって射影平面KP²に埋め込むことができます。この埋め込みにおいて、無限遠点は(0, x1, x2)という形の点として表現されます。無限遠点の集合は、KP²において一つの直線をなし、平行線の交点に対応しています。

射影変換

射影平面KP²上の射影変換とは、KP²からそれ自身への可逆な写像であって、直線を直線に写すものです。斉次座標を用いると、3次正則行列Mを用いてy=Mxと表すことができます。

高次元化

射影平面の概念は、高次元へ一般化することができます。d次元射影空間KPdは、Kd+1内の原点を通る直線全体の集合として定義されます。

組合せ論的な定義

射影平面は、組合せ論的な観点からも定義できます。この定義では、点の集合と直線の集合、そして点と直線の間の接続関係（incidence）によって定義されます。この定義では、任意の異なる二点を通る直線がただ一つ存在し、任意の異なる二直線がただ一点で交わるという性質が重要です。

有限射影平面の存在問題

有限射影平面の存在問題は、未解決問題として知られています。位数Nの有限射影平面が存在する必要十分条件は、位数Nのアフィン平面が存在することです。素数べきの位数に対しては有限射影平面が存在することが知られていますが、それ以外の位数については、存在するかどうかは未解決問題です。ブルック＝ライザー＝チョウラの定理など、位数に関する制約は知られていますが、全ての位数について解明されているわけではありません。

退化平面

組合せ論的な定義において、条件を満たさない平面を退化平面と呼びます。退化平面はいくつかの種類があり、通常の射影平面とは異なる性質を持ちます。

参考文献

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