強制振動

強制振動

強制振動（きょうせいしんどう、英語: forced oscillation, forced vibration）とは、物体や系に時間的に変化する外部からの力や場が作用することによって引き起こされる振動現象のことです。系が摩擦や抵抗などによってエネルギーを失い、本来であれば自然に減衰して停止してしまうような場合でも、外部からのエネルギー供給があるため、振動を持続させることが可能となります。

外部から作用する力や場は、必ずしも厳密な周期的変動である必要はありません。例えば、地震波のように不規則な波形であっても強制振動を引き起こします。このような不規則な波形も、フーリエ解析を用いることで様々な周波数成分を持つ周期的な波の重ね合わせとして近似的に表現できます。もし物理系が線形であれば、それぞれの周波数成分に対して系がどのように応答するかを個別に計算し、それらを重ね合わせることで全体の複雑な振動応答を求めることが可能です。

特に線形な物理系において、外部からの力が周期的な場合、その振動数（周波数）が系の持つ固有振動数に近くなるか、あるいは一致すると、振動の振幅が非常に大きくなる現象が発生します。この現象は共振（resonance）または共鳴と呼ばれます。これは、外部からのエネルギー供給が系の自然な振動のタイミングと同期することで効率的にエネルギーが注入されるために起こります。一方、非線形な系では、入力と出力の関係が単純な比例関係にならないため、より複雑で多様な応答を示すことがあります。

強制振動、特に共振は、現実世界の様々な場面で遭遇し、時に深刻な問題を引き起こすことがあります。構造物の破壊（例えば、風や地震による揺れと建物の固有振動数が一致した場合）や機械の異常振動による故障などがその例です。そのため、建築物や機械などの設計においては、想定される使用環境下で共振が発生しないように、系の固有振動数を危険な周波数から遠ざけたり、振動エネルギーを吸収する機構（ダンパーなど）を設けたりといった対策が非常に重要視されます。しかしながら、意図的に共振を利用することもあります。例えば、特定の周波数の電波を効率良く送受信するアンテナや、高周波の電気信号を生成する発振回路などは、共振現象を積極的に利用した代表的な例です。

なお、系の質量や剛性といった物理パラメータ自体が時間的に変動することによって引き起こされる振動もあり、これらは広義には強制振動に含められることもありますが、通常は係数励振振動（parametric oscillation）として区別して扱われます。

運動方程式による表現

減衰効果を持つ単純な調和振動子に周期的な外力が作用する場合を例にとると、その運動は以下のような非同次の線形微分方程式で記述されます。

減衰自由振動の運動方程式が `x'' + 2γx' + ω₀²x = 0` で表されるとき、角振動数 ω の周期的な外力 `f cos(ωt)` が作用する場合の強制振動の運動方程式は次のようになります。

`x'' + 2γx' + ω₀²x = f cos(ωt)`

ここで、`x` は変位、`x'` は速度、`x''` は加速度、`γ` は減衰定数、`ω₀` は系の固有角振動数、`f` は外力の振幅の強さ、`ω` は外力の角振動数、`t` は時間です。

この方程式の解は、時間が十分に経過すると、減衰する自由振動成分が無視できるようになり、外力と同じ角振動数 ω で振動する定常解 `x(t) = A cos(ωt - δ)` に収束します。ここで `A` は振幅、`δ` は外力に対する応答の位相遅れを表します。

振幅 `A` と位相遅れ `δ` は、方程式に解の形を代入して係数を比較することで以下のように求められます。

振幅 `A` は `A = f / √((ω₀² - ω²)² + (2γω)²) ` で与えられます。
位相遅れ `δ` は `tan(δ) = 2γω / (ω₀² - ω²) ` となります。

この振幅 `A` の式を見ると、分母が `ω₀` と `ω` が近いほど小さくなることがわかります。特に減衰が十分に小さい場合（`γ` が `ω₀` に比べて非常に小さい場合）、外力の角振動数 `ω` が系の固有角振動数 `ω₀` に近いとき、または厳密には `ω = √(ω₀² - 2γ²)` のときに振幅 `A` は最大値をとります。この振幅が最大となる現象が共振であり、このときの `ω` を共振角振動数と呼びます。

身近な例としては、ブランコを漕ぐ際に、ブランコが一番高くなるタイミングに合わせてリズム良く力を加えることで、小さな力でもブランコを大きく揺らすことができる現象が挙げられます。これも強制振動における共振・共鳴運動の一例です。

関連用語

振動
自由振動
自励振動
減衰振動
固有振動
共振、共鳴
軌道共鳴
RLC回路
* 共鳴理論

もう一度検索