形式的冪級数

形式的冪級数について

数学の領域で、形式的冪級数とは通常の多項式を拡張したものです。多項式は有限の項から構成されますが、形式的冪級数は無限の項を持つことが許されています。これは、安定した演算のもとでさまざまな数学的対象に応用されています。

形式的冪級数は一般に、可換環 A上の一変数 X を変数として持ち、係数 a_n (n は非負整数) を Aの元として次の形で表現されます。

$$
extstyle f = extstyle rac{f(X)}{X} = extstyle rac{ extstyleorall n=0}^{ extstyle orall
ewline ∞} a_n X^n
$$

ここで、各項 a_n は A内の元ですが、すべての an が 0 になるような m が存在すれば、それは多項式として認識されます。形式的冪級数全体の集合 AX に対して、加法と乗法が定義され、環の構造が形成されます。

演算の定義

加法および乗法はそれぞれ次のように定義されます。

• - 加法:

$$
extstyle ext{もし } f(X) = extstyle rac{a_n}{X} ext{および } g(X) = extstyle rac{b_n}{X} ext{ ならば、}
extstyle f(X) + g(X) = extstyle rac{(a_n + b_n)}{X} ext{ の形で表される}
$$

• - 乗法:

$$
extstyle f(X) imes g(X) = extstyle rac{orall (a_k b_{n-k})}{X} ext{ と表記され、各項の係数が定義される。}
$$

このように定義される演算は形式的に行われ、環の元と変数 X は互いに可換です。

形式的冪級数の合成

一定の条件下で、形式的冪級数は他の冪級数に代入することも可能です。例えば、次のように構成された冪級数は合成のプロセスに入ります。

$$
extstyle f(X) = extstyle rac{a_n}{X} ext{ および } g(X) = extstyle rac{b_m}{X} ext{ のとき、}
extstyle f(g(X)) = extstyle rac{a_n}{g(X)^n} ext{が意味を持つ}
$$

これは、例えば自然数 t が入った場合にも成立します。

形式的微分

形式的冪級数には、形式的微分も定義されています。一般に以下のように表現されます。

$$
extstyle f' = extstyle rac{n a_n}{X^{n-1}} ext{ として定義され、従って、微分の性質を持つ}
$$

この性質により、積分計算や方程式の解法に関する議論へも応用可能です。

多変数の場合

一変数の形式的冪級数の拡張として、多変数形式的冪級数が定義されます。この場合、無限個の不定元が考慮され、任意の数の変数を持つ形になります。具体的には、次の形に表されます。

$$
extstyle rac{c_{eta}^1 c_{eta}^2 c_{eta}}{X^{eta}} ext{ の形に対して、}
$$

このようにして、確率と関連させる数理モデルの運用に利用されるのです。

結論

形式的冪級数は数学のさまざまな局面で重要な役割を果たしています。特に、環の理論や微分方程式の解法においてその構造的な性質が利用されます。楽天的な思考を促進するための強力なツールとなるでしょう。

もう一度検索