拡散数

拡散数：数値解析における安定性の鍵

陽解法を用いた拡散方程式の数値解析において、その安定性を評価する上で重要な指標となるのが拡散数です。拡散数は、数値計算の安定性を確保するために適切な時間刻み幅を設定する際に不可欠な役割を果たします。

拡散数の定義

拡散数（d）は、以下の式で定義されます。


d = kΔt/(Δx)²


ここで、

k：拡散係数（物質の拡散しやすさを表す定数）
Δt：時間間隔（数値計算における時間ステップ）
Δx：空間間隔（数値計算における空間解像度）

です。この式は、拡散係数、時間間隔、空間間隔の3つのパラメータの比を表しており、これらの値の組み合わせによって拡散数の大きさが決まります。

拡散方程式の離散化

1次元の拡散方程式は、以下の偏微分方程式で表されます。


∂u/∂t = k∂²u/∂x²


ここで、

u：物理量（温度、濃度など）
t：時間
x：空間座標

です。この方程式を差分法を用いて離散化すると、以下のようになります。


(uᵢⁿ⁺¹ - uᵢⁿ)/Δt = k(uᵢ₊₁ⁿ - 2uᵢⁿ + uᵢ₋₁ⁿ)/(Δx)²


この式を拡散数dを用いて書き直すと、時間ステップn+1における物理量uᵢⁿ⁺¹は以下のように表せます。


uᵢⁿ⁺¹ = uᵢⁿ + d(uᵢ₊₁ⁿ - 2uᵢⁿ + uᵢ₋₁ⁿ)


この式からわかるように、時間ステップにおける物理量の変動は拡散数dに大きく依存しています。

拡散数と安定性

陽解法を用いた拡散方程式の数値計算では、拡散数の大きさが数値解の安定性に大きく影響します。フォン・ノイマンの安定性解析を用いると、安定な計算を行うためには以下の条件を満たす必要があることが示されます。


d ≤ 1/2


この条件を満たさない場合、数値解が発散し、計算結果が信頼できなくなります。この条件は、時間間隔Δtと空間間隔Δxの関係を以下のように規定します。


Δt ≤ (Δx)²/(2k)


この式から分かるように、空間解像度Δxを高く（Δxを小さく）して精度を上げようとすると、時間間隔Δtを(Δx)²に比例して小さくする必要があり、計算コストが非常に大きくなります。そのため、計算効率と精度を両立させるためには、拡散数の適切な制御が重要になります。

まとめ

拡散数は、陽解法による拡散方程式の数値解析の安定性を評価する上で重要な無次元数です。その値が安定性の条件を規定し、計算時間間隔の設定に大きな影響を与えます。高精度な計算を行うためには、空間解像度を高めるだけでなく、時間解像度も適切に設定する必要があります。このため、拡散数の概念は、数値シミュレーションを行う上で、計算の安定性と効率性を確保するために不可欠な知識と言えます。

参考文献

竹内則雄、樫山和男、寺田賢二郎『計算力学』森北出版、2003年9月。
藤井孝蔵『流体力学の数値計算法』東京大学出版会、1994年4月。

関連事項

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