差分法

有限差分法とは

有限差分法（Finite Difference Method, FDM）は、微分方程式を数値的に解くための手法です。この方法は、微分を差分近似（差分商）で置き換えることで、連続的な問題を離散的な問題に変換します。オイラーによって18世紀に考案されたとされるこの手法は、現代では特に偏微分方程式の数値解法として広く利用されています。

有限差分法の基礎

離散化

有限差分法を用いるにあたり、まず問題の領域を離散化する必要があります。これは通常、領域を一様な格子に分割することで行われます。この処理により、微分に対する離散的な数値近似の集合が得られます。特に時間発展を伴う問題では、時間刻みという概念が重要になります。

誤差

数値解法では、真の解（解析解）と近似解との間には誤差が生じます。有限差分法における誤差の主な原因は、丸め誤差と打ち切り誤差（または離散化誤差）です。打ち切り誤差は、近似によって切り捨てられた高次の項によって生じます。

局所打ち切り誤差

局所打ち切り誤差は、各点における近似の誤差を指します。これは、真の値 f'(xi) と近似値 f'i との差として定義されます。この誤差を評価するためには、テイラー展開の剰余項が利用されます。例えば、関数 f(x) をテイラー展開すると、次のようになります。

math
f(x_{0}+ih)=f(x_{0})+f'(x_{0})ih+{\frac {f''(\xi )}{2!}}(ih)^{2}


この式から、有限差分法による近似の誤差を評価できます。例えば、一階差分近似の場合、局所打ち切り誤差は刻み幅hの2乗に比例します。

有限差分法の応用例

1階常微分方程式の例

最も簡単な例として、次の1階常微分方程式を考えてみましょう。

math
u'(x)=3u(x)+2


この方程式を解くために、差分商を用いて微分を近似します。

math
{\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}\approx u'(x)


これにより、次の差分方程式が得られます。

math
u(x+h)=u(x)+h(3u(x)+2)


この方法はオイラー法と呼ばれ、微分方程式を差分方程式で近似する基本的な例です。

熱伝導方程式の例

偏微分方程式の例として、1次元の熱伝導方程式を考えてみましょう。

math
U_{t}=U_{xx}


ここで、U_t は時間に関する微分、U_xx は空間に関する2階微分を表します。この方程式を数値的に解くために、時間と空間をそれぞれ離散化します。

空間の離散化: 空間領域をメッシュ x_0, x_1, ..., x_J で分割します。
時間の離散化: 時間領域をメッシュ t_0, t_1, ..., t_N で分割します。

このとき、空間間隔を h、時間間隔を k とします。また、U(x_j, t_n) の近似値を u_j^n とします。

陽解法

時刻 t_n で前進差分、空間 x_j で2次中央差分を用いて近似すると、次の漸化式が得られます。

math
{\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k\Delta t}}={\frac {u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}}


この解法を陽解法と呼び、次の式で u_j^{n+1} を計算できます。

math
u_{j}^{n+1}=(1-2r)u_{j}^{n}+ru_{j-1}^{n}+ru_{j+1}^{n}


ただし、r = kΔt/h^2 は拡散数です。
陽解法は計算が簡単ですが、数値的に安定な解を得るためには、r ≤ 1/2 という条件を満たす必要があります。

陰解法

時刻 t_{n+1} で後退差分、空間 x_j で2次中央差分を用いると、次の漸化式が得られます。

math
{\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k\Delta t}}={\frac {u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}


この解法を陰解法と呼びます。陰解法は常に数値的に安定ですが、各時間ステップで線形方程式系を解く必要があります。

クランク・ニコルソン法

時刻 t_{n+1/2} で中央差分、空間 x_j で2次中央差分を用いると、次の漸化式が得られます。

math
2\left({\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k\Delta t}}\right)={\frac {u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}+{\frac {u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}}


この解法をクランク・ニコルソン法と呼び、数値的に安定であり、精度も高いことが特徴です。

まとめ

有限差分法は、微分方程式を数値的に解くための強力なツールです。陽解法、陰解法、クランク・ニコルソン法など、様々な解法が存在し、それぞれ特徴が異なります。問題に応じて適切な解法を選択することが重要です。

有限差分法の精度と計算量は、離散化の方法や刻み幅の取り方に依存します。実用上は、必要な精度と計算時間を考慮して、最適な条件で近似を行う必要があります。

参考文献

有限差分法 - Wikipedia
Finite difference method (英語) - スカラーペディア百科事典

関連項目

有限体積法
有限要素法

外部リンク

* Finite difference method （英語） - スカラーペディア百科事典「差分法」の項目。

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