放物線の求積

『放物線の求積』（ギリシア語: Τετραγωνισμὸς παραβολῆς）は、古代ギリシアを代表する数学者・物理学者であるアルキメデス（紀元前3世紀）によって著された、幾何学に関する極めて重要な著作です。この書は、彼の知人であったアレクサンドリアのドシテオスに宛てて送られたとされています。

本書は、放物線とその弦によって囲まれた領域、すなわち放物領域の面積を求めることを主題としています。全24の命題を含み、中でも中心となるのは、この放物領域の面積が、領域内に内接する特定の三角形の面積のちょうど4/3倍になるという主定理です。アルキメデスは、この画期的な結論を二通りの異なる手法で証明しました。

『放物線の求積』は、アルキメデスの数ある業績の中でも特に名高いものの一つです。その革新性は、無限小の概念を用いて面積を求める「取り尽くし法」を独創的に応用した点、そして特に幾何学的証明において、無限等比級数の和を計算するという手法を用いた点にあります。彼は放物領域を無限に多くの三角形に分割し、それらの面積の合計が等比級数を形成することを見抜き、その和を正確に算出することで放物領域の面積を決定しました。この手法は、後の時代に発展する積分法の考え方を先取りするものであり、17世紀にカヴァリエリの求積公式が登場するまで、面積計算における比類なき方法として評価されていました。

主定理について

放物領域とは、文字通り放物線と一本の直線（弦）によって囲まれた閉じた領域を指します。アルキメデスは、この領域の面積を測るために、領域に内接する特別な三角形に着目しました。この三角形の底辺は放物線の弦であり、第三の頂点は、放物線上の点であって、その点における放物線の接線が底辺の弦と平行になるような点に位置します。本書の命題1では、この第三の頂点から放物線の軸に平行に引いた直線が領域を分割する性質が述べられています。そして主定理は、このような条件を満たす内接三角形の面積の4/3倍が、放物領域全体の面積に等しいと結論づけています。

著作の構成と証明方法

アルキメデスの時代には、放物線のような円錐曲線は、約一世紀前のメナイクモスの研究によって既に知られていました。しかしながら、微分積分学の概念がまだ存在しなかった当時、こうした曲線の面積を厳密に求める方法は極めて困難でした。アルキメデスは、放物線と弦に囲まれた領域という具体的な問題を設定することで、面積計算に対する最初の証明付き解法を提供したのです。

アルキメデスは主定理に対して二種類の証明を与えています。一つは「力学理論」を用いる方法です。これは、重心やてこの平衡といった物理学的な原理を利用して面積の関係を導くもので、『平面の釣合について』で示された手法とは異なり、重心を支点より低い位置に置くという工夫が見られます。もう一つは、より有名で純粋に幾何学的な手法です。こちらは、主に「取り尽くし法」と無限等比級数の和の計算に基づいています。

本書の24の命題は、以下のように構成されています。

- 命題1-3: ユークリッドの『円錐曲線論』（散逸したとされる著作）からの引用で、証明は省略されています。
- 命題4-5: 放物線の基本的な性質を確立しています。
- 命題6-17: 主定理の力学的証明に関連する内容です。
- 命題18-24: 主定理の幾何学的証明を展開しています。

幾何学的証明の詳細

幾何学的証明の核心は、放物領域を図のように無限個の三角形に分割していくという巧妙な手法にあります。まず、放物領域に最初に内接する大きな三角形（便宜上、青色の三角形とします）を考えます。この大きな三角形によって分割された二つの小さな放物領域それぞれに、同様の条件で内接する三角形（緑色の三角形とします）を描きます。さらに、その次にできる小さな放物領域にも内接三角形（黄色の三角形、赤色の三角形など）を無限に描き続けていきます。

アルキメデスは、命題18-21にかけて、これらの分割によってできる三角形の面積の合計が一定の比率になることを示しました。具体的には、次にできる二つの緑色の三角形の合計面積は、最初の青色の三角形の面積の1/4になります。同様に、その次にできる四つの黄色の三角形の合計面積は、緑色の合計面積の1/4、すなわち最初の青色の三角形の面積の1/16になります。さらにその次にできる八つの赤色の三角形の合計面積は、黄色の合計面積の1/4、すなわち最初の青色の三角形の面積の1/64になります。以下、このパターンが無限に続きます。

この無限の分割と面積計算は、「取り尽くし法」の典型的な応用例です。放物領域全体の面積（Area）は、最初の大きな三角形の面積Tと、それに続く全ての小さな三角形の面積の合計として表すことができます。これは、次のような無限級数の和として表現されます。

$\text{Area} = T + \frac{1}{4}T + \frac{1}{4^2}T + \frac{1}{4^3}T + \cdots$

これを整理すると、

$\text{Area} = \left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \cdots\right)T$

となります。ここで括弧の中は、初項が1、公比が1/4の無限等比級数です。

証明を完成させるために、アルキメデスはこの等比級数の和が4/3になることを示さなければなりませんでした。彼は、現代的な公式を用いるのではなく、純粋に幾何学的な手法を用いてこの和を評価しました。例えば、単位正方形を繰り返し4つのより小さな正方形に分割していく図を考えると、公比1/4の等比級数の和が4/3になることが視覚的に理解できます。

無限等比級数の和が $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots = \frac{4}{3}$ であることを証明したアルキメデスは、最終的に放物領域の面積が最初の三角形の面積Tの4/3倍、すなわち $\text{Area} = \frac{4}{3}T$ であることを厳密に導き出したのです。

『放物線の求積』は、古代ギリシア数学における幾何学的手法の頂点を示すとともに、後の微積分学へと繋がる面積計算の基本的な考え方を示した、数学史上不朽の古典の一つと言えるでしょう。

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