取り尽くし法

取り尽くし法（とりつくしほう）

取り尽くし法は、図形の面積や体積を求めるための古代から用いられている数学的な手法です。特定の図形に内接する、あるいは外接する、より扱いやすい形状（例えば多角形）の面積や体積を計算し、これらの単純な図形を元の図形に限りなく近づけることで、目的とする図形の正確な面積や体積を決定します。この過程で、内接する図形の辺の数を増やしたり、外接する図形を調整したりすることで、近似の精度を際限なく高めていきます。こうして、内接図形と外接図形の面積（または体積）が元の図形の真の値に収束していく様子から、「取り尽くし法」や「積尽法」、「搾出法」といった名称がつけられました。また、古代ギリシャで特に発展したことから、「古代人の方法」とも称されます。

手法の概要と歴史

この方法の基本的な考え方は、対象となる図形とその近似図形との間に生じる差を、計算可能な形で任意に小さくできることにあります。適切に近似図形を構築することで、その面積または体積の列は元の図形の真の値へと収束します。

取り尽くし法のアイデアは、紀元前5世紀頃の数学者アンティポンに遡るとされていますが、厳密な理論的な根拠を与え、体系化したのは、同じく古代ギリシャの数学者エウドクソス（紀元前4世紀頃）です。この手法が「取り尽くし法」という特定の名称で呼ばれるようになったのは、比較的新しく、17世紀中頃の数学者グレゴワール・ド・サン・ヴァンサンによる著書『Opus geometricum guadraturae circuli et sectionum coni』（1647年）が最初とされています。

多くの応用において、取り尽くし法は一種の背理法を伴います。これは、求めたい図形の面積（あるいは体積）を、既知の面積を持つ別の図形と比較し、その真の値が想定される値よりも大きい、あるいは小さいと仮定した際に矛盾が生じることを示すことで、真の値がその想定される値に等しいことを証明するという手法です。

微分積分学との関係

取り尽くし法は、後の時代に発展する微分積分学の考え方を先取りしたものと言えます。特に、図形を微小な要素に分解して合計するという積分学の概念や、無限の過程を経て極限に近づくという考え方は、取り尽くし法と共通しています。しかし、17世紀から19世紀にかけて解析幾何学や微分積分学がより厳密に定義され、特に「極限」の概念が明確化されると、問題解決のための主要な手段としては取り尽くし法が直接的に用いられることは少なくなりました。それでも、その根底にある原理は、現代数学における積分の概念を理解する上で重要な基礎となっています。

古代における具体的な成果

この手法を巧みに用いた数学者として、エウクレイデス（ユークリッド）とアルキメデスが挙げられます。

エウクレイデスは、その著書『原論』の第12巻において、取り尽くし法を用いて以下の重要な幾何学的命題を証明しました。

円の面積がその直径の2乗に比例すること。
高さが等しい三角錐の体積が底面の三角形の面積に比例すること。
円錐の体積が、底面と高さを同じくする円柱の体積の3分の1であること。
高さが等しい円錐や円柱の体積が、それぞれ底面の面積に比例すること。
相似な円錐や円柱の体積が、それぞれ底面の直径の3乗に比例すること。
球の体積がその直径の3乗に比例すること。

アルキメデスは、さらに幅広い問題に取り尽くし法を適用し、多くの画期的な成果を残しました。例えば、円に内接・外接する正多角形の辺の数を増やしていく手法で円の面積を計算し、円周率（π）の値が約3.14に近いことを示しました。具体的には、正96角形を用いて、πの値が約3+10/71から約3+1/7の間にあることを導き出しています。

アルキメデスによる取り尽くし法の他の応用例としては、以下のようなものがあります。

直線と放物線に囲まれた領域の面積が、その領域に内接する最大の三角形の面積の4/3に等しいこと（放物線の求積）。
楕円の面積が、その長軸と短軸を辺とする長方形の面積に比例すること。
球の体積が、同じ半径を持ち、高さがその半径に等しい円錐の体積の4倍であること。
高さと直径が等しい円柱の体積が、同じ直径の球の体積の3/2であること。
* アルキメデスの螺旋と直線で囲まれた領域の面積が、その直線と同じ直径を持つ円の面積の1/3であること。

アルキメデスは、幾何級数の和を評価する際にも、この考え方を利用しました。

現代的な側面

現代数学においては、取り尽くし法の原理は、連続関数の定積分を無限級数の形で表現する手法などにも見られます。これは、基本的な積分が困難な場合や、積分の概念を直感的に理解させる教育的な文脈で有効なことがあります。

取り尽くし法は、現代の厳密な微分積分学の確立によって直接的な計算手法としての役割を終えましたが、極限操作によって図形の量を求めるという、数学史上極めて重要な転換点を示す手法であり、その原理は現代の数学にも脈々と受け継がれています。

もう一度検索