数演算子

数演算子について

量子力学の領域において、数演算子とは、全体の粒子数が保存されない系において粒子の数を示すオブザーバブルです。数演算子は、生成演算子と消滅演算子を用いて定義されます。この演算子は、物理的な系における粒子数の変化を捉え、さまざまな量子状態の理解を助ける重要な役割を果たします。

定義と性質

数演算子は、次のように定義されます。

$$
\hat{N} \equiv \hat{a}^{\dagger} \hat{a}
$$

ここで、$\hat{a}$ は消滅演算子、$\hat{a}^{\dagger}$ は生成演算子を表します。この定義により、数演算子はエルミート演算子であり、物理量としての意味を持ちます。エルミート性とは演算子の固有値が実数であることを意味しており、数演算子の場合、その固有値は非負の整数です。

また、数演算子と生成消滅演算子の間には次のような交換関係があります。

$$
[\hat{N}, \hat{a}] = -\hat{a}
$$
$$
[\hat{N}, \hat{a}^{\dagger}] = \hat{a}^{\dagger}
$$

この関係は、数演算子が状態の粒子数を増減させる昇降演算子の性質を示すものです。

固有値と固有ベクトル

数演算子の固有値方程式は以下の通りです。

$$
\hat{N} |N\rangle = N |N\rangle
$$

ここで、$N$ は非負整数として表されます。数演算子によって定義された固有ベクトルに消滅演算子が作用すると、次のようになります。

$$
\hat{a} |N\rangle = \sqrt{N} |N-1\rangle
$$

つまり、数演算子の固有状態から1つ粒子が減ることが分かります。一方、生成演算子を作用させると、次のようになります。

$$
\hat{a}^{\dagger} |N\rangle = \sqrt{N+1} |N+1\rangle
$$

このように、数演算子は粒子の生成と消滅を制御する中心的な役割を担っています。

フォック空間における作用

数演算子は、フォック空間でも応用されます。フォック空間は、多粒子系の状態を特徴付ける空間であり、与えられた状態 $|\Psi\rangle_{
u}$ は1粒子基底状態の集合から構成されます。この状態に対して、数演算子は次のように定義されます。

$$
\hat{N_{i}} = \hat{a}^{\dagger}(\phi_{i}) \hat{a}(\phi_{i})
$$

ここで、$\hat{N_{i}}$ は状態 $|\psi_{i}\rangle$ の粒子数を示す演算子です。そして、数演算子が作用することによって、次のように粒子の数を表すことができます。

$$
\hat{N_{i}} |\Psi\rangle_{
u} = N_{i} |\Psi\rangle_{
u}
$$

このように、数演算子は粒子数の振る舞いを記述する上で不可欠です。

参考文献

• - 清水明『新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』サイエンス社、2004年。ISBN 4-7819-1062-9。
• - Bruus, Henrik, Flensberg, Karsten. (2004). Many-body Quantum Theory in Condensed Matter Physics: An Introduction. Oxford University Press. ISBN 0-19-856633-6.
• - Fradkinによる第二量子化に関するノート。

数演算子は量子力学における基本要素であり、粒子数の振る舞いや状態の変化を理解するための鍵となる概念です。その役割と性質を理解することによって、より深い量子系の理解が得られます。

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