断面二次モーメント

断面二次モーメントについて

断面二次モーメント、または「モーメント・オブ・イナーシャ・オブ・エリア」とは、主に曲げモーメントに対する部材の変形抵抗を定量化するための物理的な指標です。これにより、構造物がどれだけ耐久性を持つかを理解し、設計に役立てることができます。通常、断面二次モーメントは記号 I で表されます。

定義と計算式

断面二次モーメントは、特定の断面が x 軸または y 軸に対してどれだけの抵抗を持つかを示すもので、以下のように計算されます。

• - x 軸に関する断面二次モーメント：

$$ I_{x} = igg( rac{1}{A} igg) imes igg( ext{微小面積 } dA imes ext{距離 } y^2 \bigg) $$

• - y 軸に関する断面二次モーメント：

$$ I_{y} = igg( rac{1}{A} igg) imes igg( ext{微小面積 } dA imes ext{距離 } x^2 \bigg) $$

これらの公式から、断面積 A とそれぞれの座標に基づいて断面の変形抵抗を測定します。

平行軸定理

さらに、図心を通る x 軸に関する断面二次モーメントと、移動した x 軸に関する断面二次モーメントの関係は以下のようになります:

$$ I_{x} = I_{X} + b^2 A $$

ここで b は移動距離を示しています。

断面係数

断面の最大曲げ応力を計算する際には、断面係数という量を用います。これは、図心を通る軸から断面の最も遠い点までの距離を断面二次モーメント I_{x} で割った値であり、構造物がどの程度の応力に耐えられるかを判断するのに役立ちます。

断面二次極モーメント

断面二次極モーメントは、原点からの距離 r を用いて次のように計算されます:

$$ I_{p} = igg( rac{1}{A} igg) imes ext{距離 } r^2 \bigg) $$

さらに、断面二次モーメント I_{x} および I_{y} の和としても表現されます:

$$ I_{p} = I_{x} + I_{y} $$

この量は特に、丸棒のねじりに関する計算で使用され、ねじり剛性 G I_{p} はトルク T を加えた際のねじれ角 θ を計算する際にも利用されます:

$$ heta = \frac{T l}{G I_{p}} $$

ここで、l は部材の長さを示します。

極断面係数

極断面係数 Z_{p} は、断面二次極モーメント I_{p} を直径 d の半分で割ったもので、せん断応力の最大値 τ_{max} を求めるのに用いられます:

$$ Z_{p} = \frac{I_{p}}{d/2} $$

これにより、材料の安全性と耐久性を評価するための重要な指標が得られます。

例

例えば、直径 d の中実丸棒の断面二次極モーメントと極断面係数は次のように計算されます:

$$ I_{p} = \frac{\pi d^4}{32} $$
$$ Z_{p} = \frac{\\pi d^3}{16} $$

これらの計算は、構造物の設計や解析において必要不可欠な要素であり、断面の形状に応じて最適な材料選定や設計が求められます。

出典

この情報は、柴田俊忍、大谷隆一、駒井謙治郎、井上達雄による『材料力学の基礎』から抜粋したものです。

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