日本の定理

日本の定理

日本の定理（Japanese Theorem）は、初等幾何学、特に和算において知られる興味深い幾何学的性質を述べた定理です。この定理は、円に内接する多角形に関するもので、その多角形をどのように三角形に分割したとしても、その分割によって得られるすべての三角形の内接円の半径の合計値が常に一定となることを示しています。

具体的には、ある円に内接する任意の多角形があるとします。この多角形を、一つの頂点から対角線を引くなどして、いくつかの三角形に分割します。このような三角形への分割方法は複数考えられますが、日本の定理は、どのような方法で分割したとしても、分割によってできた各三角形に内接する円（内接円）の半径をそれぞれ求め、それらをすべて足し合わせた値が、常に同じになることを保証します。この合計値は、分割の方法に依存せず一定なのです。

この定理の特別な場合として、円に内接する四角形に関する丸山良寛の定理があります。日本の定理は、この丸山良寛の定理を、四角形だけでなく、任意の数の辺を持つ多角形へと一般化したものであると言えます。

名称の由来

「日本の定理」という名称は、日本の数学史家である三上義夫（Mikami Yoshio）が1905年に発表した論文によって、この定理が初めてヨーロッパの数学界に紹介されたことに由来すると考えられています。三上のこの業績によって、海外でこの定理が広く知られるようになりました。

しかし、名称の由来には少し複雑な背景があります。三上自身は、この定理が清（当時の中国）の学者から彼の知人である日本の数学者へ送られたものであると認識していました。そのため、彼は1905年の論文の中でこの定理を「中国の定理（a Chinese theorem）」と呼んでおり、また翌年の証明に関する著作（三上 1906）においても「支那ノ一定理」という呼称を用いています。現在「日本の定理」として知られている名称は、三上の紹介がきっかけではありますが、三上自身の認識とは異なっているのです。

定理の逆

日本の定理には逆も成り立ちます。すなわち、ある多角形が与えられたとき、その多角形をどのように三角形に分割しても、分割によって得られるすべての三角形の内接円の半径の総和が常に一定となるならば、その多角形は円に内接する、という性質です。これにより、内接円半径の総和が一定であるかどうかが、多角形が円に内接するための判定条件の一つとなり得ます。

証明について

この定理の証明は、比較的容易であるとされています。特に、四角形の場合である丸山良寛の定理が示されれば、それを用いて一般的な多角形の場合へと容易に拡張することができます。また、カルノーの定理といった別の幾何学の定理を用いることでも、日本の定理を証明することが可能です。

日本の定理は、円に内接する多角形の持つ、直感的ではないけれども美しい幾何学的性質を示しており、和算や初等幾何学における興味深い結果の一つとして知られています。

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