時間反転対称性

時間反転対称性

時間反転対称性（じかんはんてんたいしょうせい、英: time reversal symmetry）は、物理現象において時間を逆にする変換が適用されるときの対称性を指します。具体的には、時間の進行方向を反転させることによって得られる物理状態が、元の物理状態と同じであることを示します。この対称性はT対称性とも呼ばれ、特に量子力学において多くの研究が行われています。

量子力学における時間反転対称性

量子力学の枠組みで、初期状態と最終状態の時間発展を考慮する際、時間反転によってもその物理現象が変わらないという特性が重要視されます。時間反転演算子Tを用いると、初期状態 |φ_i⟩ から最終状態 |φ_f⟩ へと時間発展する様子は、以下のように表現されます。

$$
\langle \phi_{f}|e^{-iH(t_{f}-t_{i})}|\phi_{i}\rangle
$$

ここで、Hはハミルトニアンと呼ばれ、システムのエネルギーを記述します。時間反転演算子Tを適用した後、次のように表されることが分かります。

$$
\langle \phi_{i}|T^{\dagger} e^{-iH(t_{f}-t_{i})}T|\phi_{f}\rangle
$$

このように、時間反転においても行列要素が同一であることが求められます。

アンチユニタリ演算子

時間反転を扱う上で重要な概念は、アンチユニタリ演算子です。これらの演算子は、複素共役を取る特性を持つため、以下のような性質を持ちます。

$$
A(c_{1}|\phi_{1}\rangle + c_{2}|\phi_{2}\rangle) = c_{1}^{}A|\phi_{1}\rangle + c_{2}^{}A|\phi_{2}\rangle
$$

また、アンチユニタリ演算子Aに対して、以下の関係が成り立つことも特徴です。

$$
A^{\dagger}A = I
$$

ここでIは単位演算子です。物理系における基本の方程式は、通常次のように表現されます。

$$
i \hbar \frac{\partial |\psi\rangle}{\partial t} = H |\psi\rangle
$$

この系の時間反転された状態を考慮すると、もし時間反転演算子がユニタリであった場合、以下のように表現できることになります。

$$
i \hbar \frac{\partial |\psi'\rangle}{\partial t'} = H' |\psi'\rangle
$$

しかし、ごく一般的な条件下でこの時間反転演算子Tを考えると、これにはユニタリではなくアンチユニタリでなければならないという結論になります。この理由は、時間の進行方向を反転させたときの方程式が元の方程式とは異なる符号を持つためです。

まとめ

時間反転対称性は、物理学における重要な概念であり、特に量子力学においてさまざまな現象の理解に寄与しています。時間の流れを逆にすることで、物理現象の不変性を評価することは、物理学の基本原則と関連する興味深い洞察を提供します。アンチユニタリ演算子の概念は、これらの変換を理解する上で非常に重要です。

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