曲面のリーマン・ロッホの定理

曲面のリーマン・ロッホの定理

曲面のリーマン・ロッホの定理は、代数幾何学において、特に代数曲面上の線形系の次元を決定する上で中心的な役割を果たす定理です。これは、曲線に対する同様の定理をより高次元の空間に拡張したものと言えます。線形系が定義する多様体の性質や存在を理解するために不可欠なツールとなっています。

歴史的背景

本定理の考え方の基礎は、19世紀後半に活躍した数学者たちの研究に見られます。特に、Castelnuovoが1896年および1897年にその古典的な形式を発表しました。また、Noether（1886年）やEnriques（1894年）の業績の中にも、この定理に関連する考察が見られます。その後、20世紀に層の理論という強力な枠組みが構築されると、ヒルツェブルフによって、層係数コホモロジーを用いた、より一般的で洗練された定式化が与えられました。

定理の現代的な主張（層の理論による定式化）

非特異射影曲面 `X` を考えます。その上の因子を `D` とし、曲面 `X` の標準因子を `K` とします。因子 `D` に対応する直線束を `O(D)` で表し、この直線束のコホモロジー群のオイラー数（交代和）を `χ(O(D))` と記すと、以下の等式が成り立ちます。

$$ \chi({\mathcal O}(D)) = \chi({\mathcal O}) + \frac{1}{2}D.(D-K) $$

この式において、ドット記号 `.` は因子間の交叉数（交点数）を示します。例えば、`D.K` は因子 `D` と標準因子 `K` の交叉数です。また、`χ(O)` は自明な直線束 `O` のオイラー数であり、これは曲面の算術種数 `pa` を用いて `1 + pa` と表すことができます。χ(O(D)) は一般に、`h0(O(D)) - h1(O(D)) + h2(O(D))` として定義されます。ここで、`hi(O(D))` は層 `O(D)` の `i` 次コホモロジー群の次元です。

曲線上のリーマン・ロッホの定理が `χ(D) = χ(0) + deg(D)` という単純な形であることと比較すると、曲面の場合は交叉数を含む項が現れることが特徴的です。

層の理論における重要な道具であるセール双対性を用いると、`h2(O(D))` の次元は `h0(O(K - D))` の次元に等しいことが示されます。しかし、曲線の場合と異なり、中間的なコホモロジー群の次元である `h1(O(D))` の項を、`h0` のようなより幾何学的に解釈しやすい項だけで表現することは、一般には容易ではありません。多くの重要なケースでは `h1(O(D))` はゼロとなります。

ネターの公式との関係

上記のリーマン・ロッホの定理の式に現れる `χ(O)` は、曲面の位相的な不変量を用いて具体的に計算できることが知られています。この関係を与えるのがネターの公式です。

$$ \chi({\mathcal O}) = \frac{c_1^2 + c_2}{12} = \frac{(K.K) + c_2}{12} $$

ここで、`c1` および `c2` はそれぞれ曲面 `X` の接束の第1および第2チャーン類です。第1チャーン類 `c1` は標準因子 `K` と関連があり、`(K.K)` は標準因子の自己交叉数を示します。ネターの公式により、オイラー数 `χ(O)` を曲面の位相的な量で置き換えることが可能になります。

ネターの公式および曲面のリーマン・ロッホの定理は、より一般的かつ強力な定理であるヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理の特別な場合として位置づけられています。詳細については、ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理に関する項目を参照してください。

古典的な定式化（不等式）

層の理論が広く普及する以前、特に1次コホモロジー群の幾何学的な意味が十分に理解されていなかった時代には、曲面のリーマン・ロッホの定理はしばしば不等式の形で述べられていました。その典型的な例は、Zariskiの著書にも見られる以下の形式です。

$$ r \geq n - \pi + p_a + 1 - i $$

この不等式における各記号は以下を意味します。

`r`: 因子 `D` の完備一次系 `|D|` の次元です。これは層の言葉で言うと `h0(O(D)) - 1` に相当します。
`n`: 因子 `D` の「仮想次数」と呼ばれる量で、因子 `D` の自己交叉数 `(D.D)` によって定義されます。
`π`: 因子 `D` の「仮想種数」と呼ばれる量で、`1 + (D.D + K)/2` という式で計算されます。
`pa`: 曲面 `X` の算術種数であり、`χ(OF) - 1` に等しい値です。
* `i`: 因子 `D` の「特性インデックス」と呼ばれ、層 `O(K - D)` のゼロ次コホモロジー群の次元 `h0(O(K - D))` に等しい値です。セール双対性により、これは `h2(O(D))` の次元とも一致します。

この古典的な不等式の両辺の差は、「過剰度(superabundance)」`s` と呼ばれます。層の理論による定式化と比較すると、この過剰度 `s` が中間コホモロジー群 `H1(O(D))` の次元 `dim H1(O(D))` に正確に等しいことが分かります。したがって、層の理論による定式化は、過剰度 `s` の存在を陽に表現していると言えます。

因子 `D` や直線束 `O(D)` が「正規(normal)」であるとは、特性インデックス `i` も過剰度 `s` も両方ゼロとなる場合を指します（これは `h1(O(D))` と `h2(O(D))` が両方ともゼロであることと同値です）。一方、過剰度 `s` が正の値を持つ場合 (`s > 0`) は、「superabundant」であると呼ばれます。

結論

曲面のリーマン・ロッホの定理は、曲面上の因子の幾何学、特にそれらが定める線形系の次元を理解するための基本的な道具です。その歴史的な発展は、代数幾何学における抽象的な層とコホモロジー理論の導入がいかに強力であったかを示す典型例であり、現代の代数幾何学においても不可欠な定理として広く用いられています。

もう一度検索