セール双対性

セール双対

セール双対は、代数幾何学および複素幾何学という数学の分野において極めて重要な位置を占める定理です。これは、代数多様体や複素多様体上に定義される「連接層（coherent sheaf）」と呼ばれる特別な対象のコホモロジー群に関する双対性を記述するもので、著名な数学者ジャン＝ピエール・セールによってその基本的な主張が証明されました。

当初、この定理は非特異な射影多様体上のベクトル束について定式化されましたが、後にアレクサンドル・グロタンディークによって、特異点を持つ多様体を含むはるかに広範な設定へと一般化されました。その核心的な主張は、あるn次元多様体X上の連接層Eに関するコホモロジー群 `H^i(X, E)` が、双対的な対象（具体的には標準束`K_X`とEの双対束`E^`のテンソル積に関するコホモロジー群`H^{n-i}(X, K_X ⊗ E^)`）の双対空間と自然な形で同型であるというものです。

ポアンカレ双対との類似

セール双対は、位相幾何学における基本的な定理であるポアンカレ双対の、連接層コホモロジー版と見なすことができます。ポアンカレ双対が多様体のホモロジー群とコホモロジー群の間に双対関係を確立するのと同様に、セール双対は連接層の文脈で同様の対応をもたらします。

代数的な定式化

体k上のn次元非特異かつ固有（例えば射影的な）多様体Xを考えます。Xの標準束`K_X`は、余接束の最高次外冪として定義される直線束です。この設定において、X上の任意の代数的ベクトル束Eと整数iに対し、有限次元ベクトル空間として以下の自然な同型が成り立ちます。

`H^i(X, E) ≅ H^{n-i}(X, K_X ⊗ E^)^`

この同型から直ちに、これらのコホモロジー群の次元に関する等式が得られます。

`h^i(X, E) = h^{n-i}(X, K_X ⊗ E^)`

この双対性は、層係数コホモロジーにおけるカップ積と、最高次のコホモロジー群 `H^n(X, K_X)` 上で定義される自然なトレース写像を組み合わせることで得られる、完全ペアリングに由来します。このトレース写像は、ドラームコホモロジーにおけるn形式の多様体全体での積分に対応する概念です。

複素幾何学における視点

セール双対は、射影多様体に限らず、より一般的なコンパクト複素多様体についても成立します。複素幾何学の枠組みでは、この定理はホッジ理論をドルボーコホモロジーに適用した結果、あるいは楕円型作用素の理論から導かれるものと解釈されることがあります。

非特異な複素射影多様体においては、代数幾何学的な解釈と複素幾何学的な解釈は一致します。これは、連接層コホモロジーとドルボーコホモロジーを関連付けるドルボーの定理の直接的な帰結です。

代数曲線における具体例

代数曲線の場合、セール双対の主張は古典的なリーマン・ロッホの定理の中に実質的に含まれています。曲線C上の連接層Eに対して、`i > 1`ならばコホモロジー群 `H^i(C, E)` は消滅し、`H^1(C, E)` が非自明となる可能性があります。リーマン・ロッホの定理における因子Dに関する量l(D)とl(K-D)の関係は、セール双対を用いて解釈し直すことができます。ここでl(D)は`H^0(C, O(D))`の次元、l(K-D)は`H^0(C, O(K-D))`の次元です。セール以降、`l(K-D)`は因子Dに対応する直線束の双対`D^`と標準束`K_C`のテンソル積に関連する`H^1(C, D)`の次元と認識されるようになりました。具体的には、この文脈でのセール双対性は `H^1(C, D)` と `H^0(C, K_C ⊗ D^*)` の間に双対関係を確立し、これらの次元が等しいことを示します。

リーマン・ロッホの定理は、層のオイラー標数 `h^0(E) - h^1(E)` を計算するものと見なせますが、この形は高次元への一般化を考える上で重要な視点を与えます。また、リーマン面の複素構造の変形理論において、セール双対は、二次微分形式（`H^0(C, K_C^2)`の切断）を用いた古典的な手法と、接束の双対層に関するコホモロジー群 `H^1(C, T_C)`を用いた現代的なアプローチが一致する理由を明らかにします。

起源とさらなる一般化

セール双対のアイデアは、セールが多変数複素関数論について行った研究にその源を発しています。グロタンディークによる一般化は、「連接双対性（coherent duality）」と呼ばれるはるかに包括的な理論体系の一部を構成します。特異点を持つ多様体を扱う場合、標準束`K_X`は単一の層として適切に定義できないことがありますが、このような状況では双対化複体（dualizing complex）と呼ばれる層の鎖複体を用いて双対性が定式化されます。これは導来圏やExt関手といったより高度な概念を用いることで可能となり、定理の主張はセール本来の精神を保ちつつ、非常に広範なクラスの空間へと拡張されています。

セール双対は、代数幾何学、複素幾何学、そしてより一般の環上のスキーム論において、連接層コホモロジーを理解するための不可欠な道具であり続けています。

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