本質的全射
圏論における関手の性質として、「本質的全射性」（英語では essentially surjective あるいは dense と呼ばれます）は、関手がその終域圏の対象をどの程度「網羅」しているかを示す重要な概念です。
具体的には、ある圏 $\mathcal{C}$ から別の圏 $\mathcal{D}$ への関手 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ が本質的全射であるとは、終域圏 $\mathcal{D}$ に含まれるどのような対象 $d$ を取っても、始域圏 $\mathcal{C}$ の中に、ある対象 $c$ が存在し、関手 $F$ によって $c$ を写した対象 $F(c)$ が、$d$ と同型である、という条件を満たすことを指します。
ここで登場するいくつかの基本的な圏論の用語について簡単に触れておきましょう。
圏（Category）：対象（Objects）と射（Morphisms）およびそれらの合成法則からなる数学的構造です。集合と関数、ベクトル空間と線形写像などがその例です。
対象（Object）：圏を構成する基本的な「要素」のようなものです。例えば、集合の圏では集合そのものが対象であり、ベクトル空間の圏ではベクトル空間そのものが対象です。
関手（Functor）：ある圏から別の圏への「構造を保つ」写像です。関手 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ は、$\mathcal{C}$ の対象を $\mathcal{D}$ の対象に写し、$\mathcal{C}$ の射を $\mathcal{D}$ の射に写します。この写し方は、射の合成や恒等射といった圏の構造を尊重します。
同型（Isomorphism）：圏における射の一種で、可逆な射のことを指します。二つの対象 $x$ と $y$ が同型であるとは、$\mathcal{C}(x, y)$ に属する射 $f$ と $\mathcal{C}(y, x)$ に属する射 $g$ が存在して、$g \circ f = 1_x$ かつ $f \circ g = 1_y$ となることです。同型な対象は、圏論的な観点からは区別がつかないと見なされることが多いです。
本質的全射性という性質は、集合論における写像の「全射」という概念と似ていますが、圏論においては対象の「同型」という概念が重要になる点で異なります。集合 $X$ から集合 $Y$ への写像 $f: X \to Y$ が全射であるとは、任意の $y \in Y$ に対して $x \in X$ が存在し、$f(x) = y$ となることでした。圏論的な文脈では、$F(c)$ が $d$ と「等しい」ことではなく、「同型」であることで十分と考えるわけです。
この性質が満たされるとき、関手 $F$ は終域圏 $\mathcal{D}$ の対象を、同型を除けば、始域圏 $\mathcal{C}$ の像 $F(c)$ で全て覆っていると言えます。これは、$\mathcal{D}$ の個々の対象を理解するためには、$\mathcal{C}$ の対象に関手 $F$ を適用した結果を見れば十分であることを示唆しており、ある意味で$\mathcal{C}$ が $\mathcal{D}$ よりも「小さい」または「単純」でありながら、$\mathcal{D}$ の対象の構造を本質的に捉えているという状況を表します。
特に、関手が充満（fully faithful）かつ本質的全射である場合、その関手は圏の同値（equivalence of categories）を与える要素となります。圏の同値は、二つの圏が圏論的な意味で「区別できない」ことを示す概念であり、本質的全射性は、この同値を構成するための不可欠な条件の一つなのです。
したがって、本質的全射性という性質は、関手を通じた圏同士の関係性を理解し、圏の構造を比較する上で基本的な役割を果たします。
具体的には、ある圏 $\mathcal{C}$ から別の圏 $\mathcal{D}$ への関手 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ が本質的全射であるとは、終域圏 $\mathcal{D}$ に含まれるどのような対象 $d$ を取っても、始域圏 $\mathcal{C}$ の中に、ある対象 $c$ が存在し、関手 $F$ によって $c$ を写した対象 $F(c)$ が、$d$ と同型である、という条件を満たすことを指します。
ここで登場するいくつかの基本的な圏論の用語について簡単に触れておきましょう。
圏（Category）：対象（Objects）と射（Morphisms）およびそれらの合成法則からなる数学的構造です。集合と関数、ベクトル空間と線形写像などがその例です。
対象（Object）：圏を構成する基本的な「要素」のようなものです。例えば、集合の圏では集合そのものが対象であり、ベクトル空間の圏ではベクトル空間そのものが対象です。
関手（Functor）：ある圏から別の圏への「構造を保つ」写像です。関手 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ は、$\mathcal{C}$ の対象を $\mathcal{D}$ の対象に写し、$\mathcal{C}$ の射を $\mathcal{D}$ の射に写します。この写し方は、射の合成や恒等射といった圏の構造を尊重します。
同型（Isomorphism）：圏における射の一種で、可逆な射のことを指します。二つの対象 $x$ と $y$ が同型であるとは、$\mathcal{C}(x, y)$ に属する射 $f$ と $\mathcal{C}(y, x)$ に属する射 $g$ が存在して、$g \circ f = 1_x$ かつ $f \circ g = 1_y$ となることです。同型な対象は、圏論的な観点からは区別がつかないと見なされることが多いです。
本質的全射性という性質は、集合論における写像の「全射」という概念と似ていますが、圏論においては対象の「同型」という概念が重要になる点で異なります。集合 $X$ から集合 $Y$ への写像 $f: X \to Y$ が全射であるとは、任意の $y \in Y$ に対して $x \in X$ が存在し、$f(x) = y$ となることでした。圏論的な文脈では、$F(c)$ が $d$ と「等しい」ことではなく、「同型」であることで十分と考えるわけです。
この性質が満たされるとき、関手 $F$ は終域圏 $\mathcal{D}$ の対象を、同型を除けば、始域圏 $\mathcal{C}$ の像 $F(c)$ で全て覆っていると言えます。これは、$\mathcal{D}$ の個々の対象を理解するためには、$\mathcal{C}$ の対象に関手 $F$ を適用した結果を見れば十分であることを示唆しており、ある意味で$\mathcal{C}$ が $\mathcal{D}$ よりも「小さい」または「単純」でありながら、$\mathcal{D}$ の対象の構造を本質的に捉えているという状況を表します。
特に、関手が充満（fully faithful）かつ本質的全射である場合、その関手は圏の同値（equivalence of categories）を与える要素となります。圏の同値は、二つの圏が圏論的な意味で「区別できない」ことを示す概念であり、本質的全射性は、この同値を構成するための不可欠な条件の一つなのです。
したがって、本質的全射性という性質は、関手を通じた圏同士の関係性を理解し、圏の構造を比較する上で基本的な役割を果たします。
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