関手

圏論における関手：数学的構造の対応付け

圏論において、関手 (functor) は圏から圏への写像であり、数学的構造間の組織的な対応を定式化するための強力なツールです。関手は単なる写像ではなく、圏の構造（対象と射）を保つ特別な対応付けである点が重要です。いわば、異なる数学的体系を繋ぐ橋渡しのような役割を果たします。

関手の歴史

関手の概念は、代数方程式の研究において、ガロア理論の萌芽として見られます。その後、ネーターらによる20世紀初頭の加群の研究で、拡大加群などの関手的構成が数多く現れました。関手の概念が明確に定義されたのは、20世紀半ばの代数的位相幾何学においてです。この分野では、位相空間から「自然な」代数的構造（例えば、基本群）を取り出す操作を関手を用いて定式化することで、位相空間の性質を代数的に解析することが可能になりました。さらに、グロタンディークらによる代数幾何学の発展において、関手による定式化は数学的対象の理解を大きく深める重要な役割を果たしました。

関手の定義

関手には、共変関手と反変関手の2種類があります。

1. 共変関手 (Covariant Functor):

圏Cから圏Dへの共変関手Fは、以下の2つの条件を満たします。

Cの各対象XをDの対象F(X)に写像する。
Cにおける射f: X → YをDにおける射F(f): F(X) → F(Y)に写像し、以下の性質を満たす。
恒等射の保存: F(idX) = idF(X)
合成の保存: F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f) (f: X → Y, g: Y → Z)

つまり、共変関手は対象と射の対応付けにおいて、射の向きを保ちます。

2. 反変関手 (Contravariant Functor):

圏Cから圏Dへの反変関手Fは、以下の2つの条件を満たします。

Cの各対象XをDの対象F(X)に写像する。
Cにおける射f: X → YをDにおける射F(f): F(Y) → F(X)に写像し、以下の性質を満たす。
恒等射の保存: F(idX) = idF(X)
逆向きの合成の保存: F(g ∘ f) = F(f) ∘ F(g) (f: X → Y, g: Y → Z)

反変関手は、射の向きを反転させながら、対象と射の対応付けを行います。

重要な点として、反変関手はCの双対圏C^op（全ての射の向きを逆にした圏）からDへの共変関手と見なすことができます。そのため、共変関手の概念だけで、反変関手を扱うことも可能です。

関手の性質

関手の定義から導かれる重要な性質として、以下の2点が挙げられます。

可換図式の保存: 関手は圏Cにおける可換図式を圏Dにおける可換図式に写像します。
同型射の保存: Cにおける同型射は、関手によってDにおける同型射に写像されます。

さらに、関手の合成は結合的であり、恒等関手という特別な関手が存在します。これらの性質から、関手を「圏の圏」における射と考えることができます。

自然変換

2つの関手FとGの間の自然変換 (natural transformation) は、関手間の「自然な」準同型写像と考えることができます。自然変換は、各対象Xに対して、Dにおける射ηX: F(X) → G(X)を与え、Cの任意の射f: X → Yに対して、以下の可換図式を満たすものです。


F(X) ηX> G(X)
G(f)
VF(Y) ηY> G(Y)


全てのXでηXが同型射であるとき、自然変換は自然同型と呼ばれ、FとGは圏同値であることを示唆します。

関手の種類

関手には様々な種類があり、それぞれの性質に応じて分類されます。代表的な例として以下が挙げられます。

忠実関手: 射の間の対応が単射である関手。
充満関手: 射の間の対応が全射である関手。
随伴関手: ある関手の左随伴または右随伴である関手。
加法的関手: アーベル群の圏の間の関手で、射の集合の間の群準同型を与える関手。
完全関手: 短完全列を短完全列に写像する関手。
表現可能関手: 特定の対象を用いて表現できる関手。米田の補題で重要な役割を果たす。

関手の例

様々な数学的対象に対して、関手を構成することができます。具体例として、以下のような関手が挙げられます。

自己関手: 圏CからC自身への関手。
定関手: すべての対象を同じ対象に写像する関手。
冪集合関手: 集合をその冪集合に写像する関手（共変と反変の両方がある）。
双対ベクトル空間: ベクトル空間をその双対空間に写像する反変関手。
基本群: 位相空間をその基本群に写像する関手。
導来関手: ホモロジー代数で重要な役割を果たす関手。
忘却関手: 付加的な構造を無視する関手。
自由関手: 忘却関手の左随伴関手。
定数関数環: 位相空間をその上の実数値連続関数環に写像する反変関手。
接関手と余接関手: 可微分多様体をその接束または余接束に写像する関手。
リー環構成: リー群をそのリー環に写像する関手。
テンソル積構成: ベクトル空間のテンソル積を構成する関手。

まとめ

関手は、圏論において、異なる数学的構造間の対応を体系的に扱うための重要な概念です。その性質や様々な種類、具体的な例を理解することで、数学的対象の深遠な理解につながります。関手の概念は、代数的位相幾何学、代数幾何学、ホモロジー代数など、様々な分野で広く応用されています。

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